数学例题教学研究

何金明 杨柳

摘 要 当前，实际教学与理论研究中，对中学数学例题教学功能没有全面的认识，数学例题教学方法与教学要求认识存在偏差。数学例题教学的最终目的是让学生学会思考，因此，在数学例题教学中，要加强学生“心理品质”、“思维品质”的培养。

关键词 例题 心理品质 思维品质 “引导性”问题

数学例题是数学学习的重要内容，数学知识的掌握、数学能力的提高、数学思想方法的养成、学生综合素质的培养都需要数学例题的教学去实现，“通过例题教学，要达到掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的”。[1]因此，数学例题教学是决定数学教学效果的关键之一。

一、数学例题教学存在的问题

1.对数学例题教学功能没有全面的认识

《谈新课标下高一数学差生的原因及培养策略》一文，作者对某地高一年级学生做了调查，分析发现：“70%的学生数学成绩差，不理想，学习困难吃力；20%学生成绩属于中等水平；10%的学生数学成绩较好。”[2]我们不妨把这70%的数学成绩差的学生称为“学差生”，“学差生”的比例很高，这不禁让人深思，新课标下的数学教育存在哪些问题？数学“学差生”的产生，有智力的与非智力的因素。通过对有关研究数学“学差生”文献资料的分析，我们可以发现，为解决学生数学学习困难，老师们想了很多方法和措施，这些方法和措施的实施，共同的作用就是加大了学生的学习强度。比如有研究者认为：“数学课教师要在新课程理念指导下科学设置例题，精讲多练，逐步培养学生的知识迁移能力”。[3]而从改进例题教学的角度去解决数学“学差生”问题的研究不多。

实际上，数学例题教学的过程，既是“掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力”的过程，又是学生“思维品质、心理品质”的培养过程。解决数学问题的过程中，不仅需要良好的“思维能力”，也需要“不怕困难、勇于探索”的精神，需要“沉着冷静、细致周密”的处事风格等“心理品质”。也就是说，例题教学除了具有“掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力”的功能之外，还应该具有培养学生“心理品质”的功能。这可以说是过去我们对数学教育研究的一个空白，需要教师去探索、去发掘。

2.数学例题教学方法认识偏差

在实际教学工作中，对于数学例题的教学，很多教师教学目的单纯，就是以解决例题所涉及的问题为目的。因而也就不会花时间和精力去分析例题、研究例题对于学生的其他教育功能。“不少教师照本宣科，其枯燥乏味让学生大倒胃口，失去学习的兴趣和热情。”[4]我们常常看到，在例题教学中，有很多老师要求学生记住一类问题的解法，数学题目解法类型化。大多数学生则只是模仿老师的解题思路与方法，例题教学对于他们来说就是一种“模仿”学习，提高学习效果、实现学习目的的方法就是做大量的练习，学习方法简单地成为了“题海战术”，因而造成“一听就懂，一做就错”[5]的学习怪圈。学生的学习，都要依赖于多讲、多练、多辅导，节假日、双休日要补课就不足为奇了。

波利亚认为，中学数学教育的根本目的是让学生学会思考，数学例题教学也是这样。实际上，问题是千变万化的，只有培养学生有良好的心理品质，有较强的思维能力，才能使学生具备灵活解决问题的能力。“人的正确思想是从哪里来的？是从天上掉下来的吗？不是。是自己头脑里固有的吗？不是。人的正确思想，只能从社会实践中来，只能从生产斗争、阶级斗争和科学实验这三项实践中来”。任何数学例题的解决都有其知识经验的、思想方法的根源。因此，在数学例题教学方法上，不是老师教学生解题，应该是老师组织、指导学生分析问题，师生一道探究问题的解决策略，寻找例题的解决方法。

3.数学例题教学要求认识偏差

“懂了吗？”我们常常听到老师上课时会向学生发出这样的提问，尤其低年级更是如此。对于数学例题的教学，很多老师和学生也是把“听懂了”作为例题教学任务是否完成、教学目的是否实现的标志。“对例题学习的重要性，学生必须明确一点，学习数学没有‘差不多’已经懂了的概念，而只有懂与不懂两个层次。”[5]尤其是“学差生”，他们往往把“听懂了”作为学习数学的最高境界，“听懂了”他就满足了。什么叫“听懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。对于数学学习来说，“懂了”不是数学例题教学的终极目的，“懂了”不应该是我们最终要达到的数学例题教学效果。从思维水平上分析，“了解”、“明白”只是学生对教师例题解法的认同与接受。而不是在教学互动中掌握了解题的思想方法，形成了自己的分析问题的思维结构。对于例题教学的目的要求，应该达到的教学效果，目前没有确定的标准，但数学家波利亚的“怎样解题”表为我们指明了方向。根据波利亚的“怎样解题”表，学生的数学例题学习就不止于“懂与不懂”两个层次了。

二、数学例题教学中心理品质的养成

许多学生数学学习失败的主要原因在于其心理品质，许多学生数学学习良好也可归功于其良好的心理品质。学生的心理品质对能否有效解题影响很大。“数学差生的行为受到来自自我（self）的影响。他们对自我的认识是消极的、偏执的、顽固的，对未来的自我是不怀希望的”[6]。

以“意志”为例，很多数学“学差生”不是因为智力低下，而是意志品质薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏战胜困难的勇气和锲而不舍的精神，不能长期坚持勤奋刻苦的学习状态，一遇到困难就裹足不前、垂头丧气，甚至自暴自弃。由于各种因素，我国当代青少年特别是独生子女，意志品质薄弱者占有很大的比例。爱因斯坦告诫人们：“优秀的性格和钢铁般的意志，比智慧和博学更为重要”。“对于青少年积极心理品质发展而言，……如果我们能在学校心理健康课堂或学科教育课堂以及其他活动中对于适合其年龄阶段的积极心理品质进行全方位培养，学生积极心理品质的发展就能获得最有效的促进。”[7]

对于不同的学生，他的心理品质在他的解题过程中都能体现出来。有的沉着冷静、有的浮燥冒进、有的粗心大意、有的细致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例题教学中，教师可以通过学生的解题尝试，发现其心理品质方面存在的问题，要向学生指正，说明这些心理品质欠缺对其学习、成长的危害，并给予正确的导向。从而帮助学生改善其不良心理品质，发展、培养良好的心理品质。应该让学生认识到，数学学习不仅是获得数学知识、发展数学能力的过程，而且是检验人的心理品质，促进心理发展的过程，作为学生，要在数学学习中，有意识、有目的地健全自己的心理品质。

三、数学例题教学中思维品质的养成

关于数学思维的积极性活动，人们共同的看法是它决定于思维品质。“数学思维品质”[9]实质就是人的数学思维的个性特征，它体现了每个个体思维水平、智力与能力的差异，是衡量数学思维优劣、判断数学能力高低的主要指标。它包括思维的目的性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的批判性、思维的独创性、思维的条理性、思维的严谨性和思维的广阔性等。学生思维能力的高低主要就体现在思维品质的差异上。

多年来，国内外许多先进的教学方法与经验表明，培养学生的数学思维品质是发展其数学能力的突破点和有效的途径。所以，在数学能力的培养上，往往要抓住数学思维品质这个突破口，而数学例题教学则是学生数学思维品质养成的主要平台。在例题教学时，重视对分析问题、解决问题过程中的思维品质的培养，让学生在体验思维品质的过程中养成良好的思维品质，既是当前数学教学的短板，更是提高数学教学效果的突破口。

四、数学例题教学分析举例

一般情况下，这个例题的教学就结束了。但如果是这样，作业布置下去，就会发现，会有绝大多数学生采用第一种解法。而这个例题是在学习“三角函数的基本关系”时为巩固新知识、运用新知识的一道例题。学生为什么会选择解法一，原因很简单，就是解法一相对容易，解法二相对较难。因此，教师接下来还应该与学生一起比较两种解法，既肯定他们没有忘记旧知识，得出解法一，又强调学习上为获得新知识、培养新能力，要不怕困难，要有迎难而上的进取精神。一开始老师的三个提问，用到的都是第一人称“我们”，老师把自己与学生摆在同样的角色位置，学生和老师都是探索的主体，这样有助于学生主动性的发挥。三个问题都是引导性问题，引导学生思考的方向、目标，引导学生怎样思考与分析研究，问题（1）是常见的，多数学生也能这样思考；问题（2）的提出，启发了学生的思维，使其思维指向广阔的知识经验；问题（3）则使学生思维有明确的目的。三个问题联结起来，形成解决问题的系统思路，对于培养学生思维的条理性和系统性，是必不可少的。

例2 求函数y=的最大值和最小值。

如果没有相关的经验，或没有得到思维品质的培养，学生一开始看到此题，真的一头雾水，不知所措。因此，教师应该指导学生观察分析：首先这是求函数最值的问题，不同类型函数的最值问题有不同的解决方法，师生共同回顾有关函数的最值问题，这就使得学生的思维得到广阔的展开。其次，可以从本题函数的内容、结构、变形上设计“引导性”问题，引导学生进行分析：从内容上，有正弦、余弦，要讨论函数的性质，应该考虑弦化切；从函数式的结构形式上，可以类比两点连线的斜率公式；从函数变形上，可以考虑对函数式作适当变形，从而转化成asinx+bcosx的形式，这就是大家熟悉的了。老师在教学过程中，设计的“引导性”问题，要点到为止，启而不发，引导学生从不同角度去观察、分析问题，培养学生思维的灵活性等思维品质。

参考文献

[1] 涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006.

[2] 王付光.谈新课标下高一数学差生的原因及培养策略[J].才智，2011（1）.

[3] 周博.简析创设数学典型例题的策略和意义[J].中小学教学研究，2011（9）.

[4] 卢忠扬.对高中数学例题教学的思考[J].语数外学习：高中数学教学，2014（9）.

[5] 屠丰庆.例题教学有效性的现状，分析和思考[J].复印报刊资料：中学数学教与学，2009（11）.

[6] 彭熹.基于社会心理学的数学差生问题研究[D].长沙：湖南师范大学，2007.

[7] 余晓灵，孙燕，王新波.中学生积极心理品质培养内容的序列化研究——以北京市第十九中学学生问卷调查为例[J].中国特殊教育，2009（12）.

[8] 林崇德，辛涛.智力的培养[M].杭州：浙江人民出版社，1996.

【责任编辑 郭振玲】