快速作材料力学内力图的探讨

缑　勇，裴红艳，秦立平，吴　洁，程　涛

(湖北理工学院 土木建筑工程学院,湖北 黄石 435003)



快速作材料力学内力图的探讨

缑勇，裴红艳，秦立平，吴洁，程涛

(湖北理工学院 土木建筑工程学院,湖北 黄石 435003)

摘要：材料力学是土木工程专业重要基础课程之一，内力图是该课程学习的重难点。为满足卓越土木工程师培养要求，简化作内力图过程和难度，结合多年的教学实践，总结出快速准确的作图方法。以截面法为基础，根据内力概念及荷载类型，利用突变或渐变法快速作图，适用于集中和均布荷载作用下构件轴力图、扭矩图、剪力图或弯矩图。

关键词：土木工程；材料力学；内力图；快速作图

众所周知，土木工程专业是力学王国，三大力学是其重要基础。力学历来是学生感觉复杂难学的课程之一，不管是材料力学还是结构力学，都以内力图绘制为最大难点，而材料力学是结构力学的重要基础，涉及到各种荷载作用下绘制构件轴力图、扭矩图、剪力图或弯矩图，确定危险截面及危险点，进行强度、刚度计算，完成构件设计。纵览多部教材[1-3]，多采用截面法作材料力学内力图，但步骤太过繁琐，在后续结构力学学习阶段，对象更复杂，快速准确作出内力图尤为重要。一些研究者提出的过快速作内力图的方法[4-6]，主要针对剪力、弯矩图，荷载也以集中荷载为主，不够系统化。此外，在众多高校中，普遍存在缩减力学课程教学学时现象，以湖北理工学院为例，土木工程专业材料力学学时由90学时逐渐缩减为72学时，教学内容却不断增加，同时还需要满足卓越工程师人才培养目标需求，强化学生工程意识和创新实践能力提升。然而，实践证明，学生往往接受填鸭式教学，作图不求甚解，很难达到预期教学效果。

基于此，笔者结合多年教学实践，强调让学生在理解内力图的概念及用途后，立足基本的静力平衡理论，对集中、均布荷载作用下构件轴力图、扭矩图、剪力图以及弯矩图的快速作法进行分析梳理，以简化步骤，降低作图难度。

1快速作内力图的理论基础

1.1内力图的概念

内力图是在直观表达荷载的作用下，结构或构件各截面内力变化的图形。内力是外力(包括外部荷载及约束反力)作用的产物，通常为分布力，用一个合力代替，其存在取决于外力。需要让学生透彻理解内力图的概念，尤其要掌握内力同外力的关系是快速作图的关键。

1.2内力图的分类

材料力学中涉及到的内力主要包括：

1)轴力FN，产生于轴向拉伸与压缩变形，拉为正，压为负。

2)扭矩T，产生于纯扭转变形，利用右手螺旋法则确定方向，四指表示扭矩的转向，大拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。

3)剪力FS，产生于平面横力弯曲变形，利用截面法，取隔离体左上右下时，剪力为正，反之为负。

4)弯矩M，产生于弯曲变形，其方向以使梁下侧纤维受拉为正，反之为负。

对于水平构件，除了弯矩图画在受拉的一侧，即通常取坐标轴下侧为正之外，其他内力图均取坐标轴上侧为正，下侧为负，该规定主要适用于材料力学或工程力学，也适用于快速作图方法。

1.3利用截面法作内力图

截面法主要是利用受力分析及静力平衡条件计算出所有外力，然后遵循“截开”、“代替”、“平衡”3个步骤计算各控制截面内力，根据内力图形规律作出内力图。

该方法需要对各控制截面进行受力分析，建立平衡方程、解方程，对于复杂荷载或复杂构件其步骤偏多，而作内力图往往不是最终目的，后续通常需要进行强度、刚度计算，作内力图时间不能耗费太多，因此，截面法作为验证快速所作内力图是否正确的手段较为有效。

2快速作内力图的方法

对于轴力图、扭矩图和剪力图存在很多共同之处，可以建立统一作法：利用理论力学知识对构件进行受力分析，准确计算出所有外力。根据内力是外力作用结果这一理论，分析构件所受外力分布情况，若截面所受合外力不为0，对应方向内力必然会发生改变，若没有外力作用，或待求内力方向合外力为0，则内力大小方向不变，对应内力图为水平线。集中力作用截面，相当于在该截面直接增加一个内力，对应内力图必然不再连续，在截面处发生突变，突变量为集中力大小；分布力作用截面相对复杂，通常出现的是均布荷载，如果方向沿着待求内力方向，对应内力图同样发生变化，总变化量等于均布荷载的合力，由于均布荷载分布在一定范围内，对于平面杆件，分布在一定长度范围内，其变化不是一蹴而就的，而是符合一次函数变化规律，对应内力图为斜直线，可称为渐变。

2.1作轴力图的方法

首先计算约束反力，从左向右依次作图，遇到集中荷载，内力图发生突变，遇到均布荷载，内力图发生渐变(斜直线)。最左端遇到外力之前，内力为0，这个可以利用截面法验证，遇到向左外力，相当于拉右侧截面，根据轴力方向规定，拉为正，则向上突变(向上为内力图正方向)，反之向下突变，突变量为外力大小；均布力为斜直线，变化方向同集中力，总渐变量为合力大小。最终内力图将回归为0，这个同样可以利用截面法验证，该结论可以作为快速作图的验证手段，即始于0，归于0，否则不准确。

2.2作扭矩图的方法

首先计算约束反力，从左向右依次作图。从0开始，遇到外力，取右侧为研究对象进行分析，向上集中力偶会使扭矩图向上突变，突变量为集中力偶大小，反之向下；均布荷载发生渐变，内力图为斜直线，渐变方向同集中荷载，总渐变量为合力大小，最终内力归于0。

2.3作剪力图的方法

作剪力图类似于作轴力、扭矩图，先解决外力问题，再从左向右，从0开始，依次突变或渐变，最终回归到0，完成内力图，其突变或渐变方向为：外力向上则内力图向上变化，反之向下。

2.4作弯矩图的方法

和前面3种内力图略有不同，作弯矩图较为快捷的方法是利用微分关系法，先快速作出剪力图，再根据剪力同弯矩的微分关系计算各控制截面处弯矩值，所需计算的控制截面通常是内力图发生转折或突变的截面，包括杆件端部，外力作用截面以及均布荷载对应剪力为零截面。利用微分关系法需要计算最左端截面弯矩，空心铰接点或铰支座处若不受集中力偶作用，则弯矩为0，如果最左端为固定支座，可简化为1个固定铰支座加1个集中力偶，有集中力偶作用，弯矩图要发生突变，取右侧为研究对象，集中力偶作用右截面，若使下侧受拉，则增加弯矩，向正向即下侧突变，突变量为集中力偶大小，反之向上突变。确定各控制截面后，可根据荷载对应弯矩图形状规律快速作图。遇到均布荷载作用，弯矩图为二次曲线，开口方向正对荷载箭头方向。最终弯矩也将回归到零，该结论可作为验证图形是否准确的条件进行应用。

3快速作内力图的应用

3.1作轴力图的应用

已知变截面杆件如图1所示，作出轴力图，具体思路如下。

1)受力分析，根据平衡理论计算约束反力，得到最终受力如图2所示。

2)从左至右依次作内力图。变截面杆件可视为等截面直杆，因截面尺寸同外力无关，也并不影响内力大小。遇到集中荷载，发生突变，均布荷载发生渐变，从0开始，最终归于0。外力方向相对右侧压为负，向下突变或渐变，反之向上突变或渐变，最终得到杆件轴力图如图3所示。

3.2作扭矩图的应用

扭矩图和轴力图的应用类似，且较为简单，篇幅限制，此处不再举例。

3.3作剪力图和弯矩图的应用

已知静定梁如图4所示，作出剪力图和弯矩图。具体思路如下。

1)计算约束反力，进行受力分析，梁受力分析图如图5所示。

2)作剪力图，从左向右，自0开始，遇到集中荷载，沿箭头指向突变，变化量为荷载大小；遇到均布荷载，沿箭头指向渐变，变化量为荷载合力大小；集中力偶作用截面，因方向原因，对剪力不产生影响。剪力图历经最后一次突变之后回归为0，该条件也可作为结果正确与否的验证条件。最终剪力图如图6所示。

3)从左向右依次计算出各控制截面处弯矩值，可利用微分关系法，首先确定最左端截面弯矩，空心铰支座，弯矩为0，借助剪力图，计算其他截面弯矩，集中力偶作用截面，依靠微分关系法无法解决，该截面弯矩图会突变，取右侧为对象，集中力偶使截面下侧受拉，弯矩图向受拉一侧突变，再次利用微分关系法计算最右截面弯矩为0，同分析结果“空心铰接点弯矩为0”一致，该结论也可作为验证条件。最后根据荷载对应弯矩图形状连接各控制截面内力，形成最终弯矩图。均布荷载对应弯矩图为二次曲线，连线时注意开口方向正对荷载箭头方向。最终弯矩图如图7所示。

4结论

内力图是土木工程专业材料力学乃至后续结构力学课程的核心内容，能否快速准确作出所需的轴力图、扭矩图、剪力图以及弯矩图意义显著。笔者结合教学实践，总结出快速作内力图的一些规律如下。

1)利用静力学理论计算约束反力，并进行受力分析。

2)从左开始作杆件轴力图，始于0，向右遇到集中荷载，发生荷载大小的突变，遇到均布荷载，发生其合力大小的渐变(图形为斜直线)；荷载相对右侧截面拉伸，向上突变或渐变，反之向下，图形最终回归于0。

3)从左开始作轴的扭矩图，始于0，向右遇到集中力偶，发生荷载大小的突变，遇到均布荷载，发生其合力大小的渐变(图形为斜直线)；图形变化方向沿着荷载箭头方向向上或向下，最终回归于0。

4)从左开始作梁的剪力图，始于0，向右遇到集中荷载，发生荷载大小的突变，遇到均布荷载，发生其合力大小的渐变(图形为斜直线)；图形变化方向沿着荷载箭头方向向上或向下，最终回归于0。

5)根据微分关系法作梁的弯矩图，从左向右，借助剪力图以及各种荷载对应弯矩图形状规律，遇到集中力偶，弯矩图会发生力偶大小的突变；取集中力偶所处截面右部分为对象，集中力偶使其哪侧受拉，突变即沿着对应方向发生。

参 考 文 献

[1]袁海庆.材料力学[M].2版.武汉：武汉理工大学出版社，2004：3-8，62-71.

[2]范存新.材料力学[M].重庆：重庆大学出版社，2011：3-9，77-89.

[3]王明斌，庞永平.工程力学[M].北京：北京大学出版社，2011：118-181.

[4]彭旭龙.材料力学中内力图教学探索[J].科教导刊，2015(12)：129-130.

[5]张继平.材料力学内力图创新教法研究[J].中国科教创新导刊，2008(34)：43.

[6]程时宇,徐金晶.用简易法作梁的内力图的探讨[J].山西建筑，2005，31(17)：45-46.

(责任编辑高嵩)

Discuss on Rapid Drawing Method of Internal Force Diagram in Material Mechanics

GouYong,PeiHongyan,QinLiping,WuJie,ChengTao

(School of Civil Engineering and Architecture,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Abstract：Material mechanics is one of the important professional basic courses of civil engineering,whose difficult point is the internal force diagram.In order to meet the requirements for training excellent civil engineers,it's necessary to simplify process and difficulty of drawing internal force diagram.Therefore,according to years' teaching practice,a rapid drawing method of mutation or gradient has been put forward based on the section method,the concept of internal force and load types,which applies to internal force diagram of axial force,torque,shear force and bending moment accurately and rapidly under the action of concentrated load and uniformly distributed load.

Key words：civil engineering；material mechanics；internal force diagram；rapid drawing method

中图分类号：G642.0

文献标识码：A

文章编号：2095-4565(2016)01-0067-04

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.016

作者简介：缑勇，讲师，硕士。

基金项目：湖北省教育厅教学研究项目(项目编号：2010313,2013382)。

收稿日期：2015-08-28