指数函数在迭代下轨道的极限
2016-04-08成凯歌
成凯歌
(浙江旅游职业学院 基础部,浙江 杭州 311231)
指数函数在迭代下轨道的极限
成凯歌
(浙江旅游职业学院 基础部,浙江 杭州 311231)
摘要:对函数迭代的研究是离散动力系统的主要内容之一.对于低次的迭代问题往往不会复杂,但当迭代的次数较高或迭代次数不断增加时,会出现意想不到的的情况.指数函数作为重要的基本初等函数之一,通过对它的迭代在迭代次数不断增加时出现的结果进行研究,获得了过定义域中每一点的轨道性质以及轨道在迭代次数趋向无穷大时的极限状态.
关键词:指数函数;迭代;不动点;2-周期点;轨道
对于给定函数f(x), 要考虑其低次迭代譬如f(f(x)),f(f(f(x)))是比较容易的,但更高次的迭代不仅函数的性质会出现复杂的情况, 而且会出现许多意想不到的结果.数学中研究的迭代反映了现实生活中的常见现象, 因为许多现象本身就是迭代或者都可以用迭代解释, 如植物的生长过程、动物的繁殖等现象都可以用迭代进行研究,所以对映射迭代的研究构成了离散动力系统的主要内容.另外,计算机的运行就是迭代, 所以对迭代研究也促使了计算机技术的飞速发展.上世纪50年代以来,在迭代的研究方面取得了很多重要的成果[1-8].在大学高等数学中, 迭代问题尽管常常遇到,但具体的常见函数迭代的研究涉及不多.本研究将讨论指数函数的迭代, 进一步研究指数函数在迭代的次数不断增大时的极限状态.
1有关的定义及定理
定义1[9]设f:I→I是一个自映射,那么对∀x∈I,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),…都是有意义的.记:
f0(x)=x,fn(x)=f(fn-1(x)),则fn(x)对一切非负整数n都有意义.fn(x)称为f(x)的n次迭代函数, 简称为f(x)的n次迭代,其中n称为迭代指数.
定义2[9]设ξ∈I,如果f(ξ)=ξ,则称ξ是f(x)的一个不动点.
定义3[9]设ξ∈I,如果f(ξ)≠ξ,但f2(ξ)=ξ,则称ξ是f(x)的一个2-周期点.
定义4[10]设x0∈I, 则:
x0,f(x0),…,fn(x0),…,称为f过点x0的正半轨道, 简记为{fn(x0)}.如果f:I→I是可逆映射, 那么:
…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0,f(x0),…,fn(x0),…,称为f过点x0的轨道;而:
…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0,称为f过点x0的负半轨道.由不动点的定义可得:
定理 1若ξ是f(x)的不动点,那么,对任意正整数n,ξ也是fn(x)的不动点.
2指数函数迭代的讨论
函数f(x)=ax(a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞)称为定义在(-∞,+∞)上的指数函数.
2.1当a>1时指数函数的迭代
由定理2可得如下推论.
定理3设f(x)=ax(a>1), 则:
①对任意正整数n,fn(x)在(-∞,+∞)上严格递增.
证明结论①显而易见.
(1)
ξ1=f(ξ1) 进而,对任意正整数n,有: ξ1 2.2当0 定理4当0 证明令F(x)=ax-x,则有: 由ax>0以及lna<0,得对∀x∈(-∞,+∞),有F'(x)<0.所以,函数F(x)=ax-x在(-∞,+∞)上严格递减.注意: 推论2当0 事实上,由定理4的证明,可知: F(0)=1>0,F(1)=a-1<0. 根据介值定理得函数F(x)=ax-x有唯一零点属于区间(0,1),即函数f(x)=ax的唯一不动点属于区间(0,1).