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GDP的增长和稳定问题的简易数学模型

2016-04-07刘云忠

经济研究导刊 2015年22期
关键词:稳定数学模型

刘云忠

摘 要:运用数学和经济学理论,推得GDP增长和稳定问题的简易数学模型。此数学模型简单实用,可以很好地解释GDP的增长和稳定问题。

关键词:GDP增长;稳定;数学模型

中图分类号:F224        文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2015)22-0005-03

一、GDP的增长问题

国民收入的主要来源是生产,生产的发展促进了国民经济的繁荣。国民收入的开支用于消费资金,投入自生产的积累资金和政府用于公共设施的开支。

假设1:y (t)是t时刻国民收入水平;G (t)是t时刻国民消费水平。G是政府用于公共设施的开支水平,一般认为是常量(在某一时间内);I (t)是t时刻国家用于投入再生产的投资水平,且有:

Y=C+I+G     (1)

假设2:k是消费系数,可以认为国民消费水平取决于国民收入水平,C=k×Y,k∈(0,1);s是积累系数,s=1-k。

假设3:是t时刻的需求水平:

其中:h,W为常量。在这种情况下,国家生产水平将出现振荡,当α>0时,生产水平下降,当α<0时,生产水平上升。

综上,(9)式给出了一个国家GDP的增长趋势。

二、GDP的稳定问题

假设1:国民收入主要用于消费,再生产投资和政府用于公共投资的开支。

假设2:设Yk是第k个周期内的国民收入水平,Ck是第k个周期内的消费水平,Ck的值是由前一个周期的国民收入水平确定的。即:

Ck=AYk-1    (10)

其中,A是常数,0<A<1。

假设3:设Ik是第k个周期内用于再生产的投资水平,它取决于消费水平的变化,即:

Ik=B(Ck-Ck-1)    (11)

其中,B是常数,B>0。

假设4:G是政府用于公共设施的开支,设为常量。

根据假设,有Yk=Ck+IK+G         (12)

将(10)式、(11)式代入(12)式,有:

Yk=AYk-1+B(Ck-Ck-1)+G

=AYk-1+BAYk-1-BAYk-2+G

所以,YK-A(1+B)Yk-1+BAYk-2=G   (13)

(13)式是一个递推的差分方程,就可以预推国民收入水平的发展趋势,如果给定Y0,Y1,A,B,G的值,由(13)式可以预推的Y2值。若令K=3,4,5,……,且连续使用(13)式,是可以预推Y3,Y4,Y5……的值。

下面求解(13)式。

取其特解:

很显然,由于0<A<1,B>0,当K→∞时,YK→+∞,国家经济同样出现不稳定局面。

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