GDP的增长和稳定问题的简易数学模型
2016-04-07刘云忠
刘云忠
摘 要:运用数学和经济学理论,推得GDP增长和稳定问题的简易数学模型。此数学模型简单实用,可以很好地解释GDP的增长和稳定问题。
关键词:GDP增长;稳定;数学模型
中图分类号:F224 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2015)22-0005-03
一、GDP的增长问题
国民收入的主要来源是生产,生产的发展促进了国民经济的繁荣。国民收入的开支用于消费资金,投入自生产的积累资金和政府用于公共设施的开支。
假设1:y (t)是t时刻国民收入水平;G (t)是t时刻国民消费水平。G是政府用于公共设施的开支水平,一般认为是常量(在某一时间内);I (t)是t时刻国家用于投入再生产的投资水平,且有:
Y=C+I+G (1)
假设2:k是消费系数,可以认为国民消费水平取决于国民收入水平,C=k×Y,k∈(0,1);s是积累系数,s=1-k。
假设3:是t时刻的需求水平:
其中:h,W为常量。在这种情况下,国家生产水平将出现振荡,当α>0时,生产水平下降,当α<0时,生产水平上升。
综上,(9)式给出了一个国家GDP的增长趋势。
二、GDP的稳定问题
假设1:国民收入主要用于消费,再生产投资和政府用于公共投资的开支。
假设2:设Yk是第k个周期内的国民收入水平,Ck是第k个周期内的消费水平,Ck的值是由前一个周期的国民收入水平确定的。即:
Ck=AYk-1 (10)
其中,A是常数,0<A<1。
假设3:设Ik是第k个周期内用于再生产的投资水平,它取决于消费水平的变化,即:
Ik=B(Ck-Ck-1) (11)
其中,B是常数,B>0。
假设4:G是政府用于公共设施的开支,设为常量。
根据假设,有Yk=Ck+IK+G (12)
将(10)式、(11)式代入(12)式,有:
Yk=AYk-1+B(Ck-Ck-1)+G
=AYk-1+BAYk-1-BAYk-2+G
所以,YK-A(1+B)Yk-1+BAYk-2=G (13)
(13)式是一个递推的差分方程,就可以预推国民收入水平的发展趋势,如果给定Y0,Y1,A,B,G的值,由(13)式可以预推的Y2值。若令K=3,4,5,……,且连续使用(13)式,是可以预推Y3,Y4,Y5……的值。
下面求解(13)式。
取其特解:
很显然,由于0<A<1,B>0,当K→∞时,YK→+∞,国家经济同样出现不稳定局面。