二次根式运算中的易错点辨析

在学习二次根式时，同学们由于对有关概念、性质理解不深，在做题的过程中常常会出现似“是”而“非”的错误.现就容易出现的一些错误进行辨析，从中探寻正确的解法，以避免错误的发生.

一、忽视二次根式为正数的前提条件，盲目开方

例1 化简-a.

错解：

原式=a-a·=（a-1）.

错因剖析：上述解法忽视了-a3>0这一隐含条件，即a<0，盲目进行开方，进而导致变形不等价，造成错解.我们知道=|a|=a（a≥0时）-a（a<0时）.事实上由于与均为算术平方根，应有>0且>0，而a与<0.

正解：原式=-a-a·=（1-a）.

二、没有正确区分（）2与的意义

例2 计算+（）2

错解： +（）2=-5+5=0

错因剖析：本题出错的原因是没有准确理解的意义，（）2与的运算顺序不同，（）2先开方后乘方，先乘方后开方，这里的表示的是（-5）2的算术平方根，即25的算术平方根，所以=5，（）2表示的是的平方是5.

正解：+（）2=5+5=10.

三、忽视同类二次根式的定义

例3 已知和是同类二次根式，求m的值.

错解：∵和是同类二次根式，∴2m=4m+4，即m=-2.

错因剖析：若m=-2，则2m=-4<0，与二次根式的定义相矛盾.两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：①是最简二次根式；②被开方数相同.因此，应将其化简成2，然后再利用同类根式的值相等这一条件求解.

正解：=2，且2、與是同类根式，∴有=，两边平方得：2m=m+1，即m=1.

四、错用根式的性质

例4 计算：（1）；（2）

错解：（1）原式==5+12=17；

（2）原式=-=10-6=8.

错因剖析：错解错在套用积的算术平方根性质：=·，符号“”代表开平方，也起着括号作用，对于不能用二次根式性质计算的，应如同先要进行括号内的运算一样，根号内的运算要首先进行.

注意：≠±

正解：（1）原式===13；

（2）原式===8.

五、忽视题设的隐含条件

例5 若m=，试求-的值.

错解：-

=-

=-=m-1-

=2--1-（2+）=-1-2

错因剖析：错解是由于忽视了题设中 m==2-<1，即m-1<0这一隐含条件.

正解：-

=-

=-=m-1+

=2--1+2+=3.

六、根号外的数（式）与根号内的数（式）约分

例6 计算：.

错解：原式=+

=+=2+3=5.

错因剖析：错在把根号外的“3”与根号内的“12”、“27”直接约分.按运算性质的要求，应将根号内能开得尽方的因数（式）开方后，再与根号外的因式相除.

正解：原式=+=

七、误用分配律

例7 计算：÷+.

错解：原式=÷+÷

=×+×

=3+2

错因剖析：错解的原因是把和对除数的分配，即（a+b）÷d=（a+b）·=+，误解为除数对和的分配.

正解： 原式=÷=×==6-6.

八、违背运算顺序

例8 计算

÷

错解：原式=×÷×=×÷×=.

错因剖析：上面的解法错在把写成×时，没有添加括号，造成运算顺序有误.

正解：原式=×÷（×）

=×÷（×）=÷=.

九、忽视分类讨论

例9 将下式分母有理化：.

错解：原式=

=.

错因剖析：出错的原因在于忽视了对字母的讨论，从而导致了变形的不等价.事实上，当a=0时，1-=0，进而导致分式的分母为0，并且结果中的分母亦为0，此时分式无意义.

正解：（1）当a=0时，原式=；

（2）当a≠0时，1-≠0，

此时原式=.

十、忽视将计算结果化为最简二次根式

例10 计算：（5+）（5-2）.

错解：原式=25-10+5-2.

错因剖析：错解中的、不是最简二次根式，应把它化为最简二次根式后，再把同类二次根式进行合并计算.

正解：原式=25-10+5- 2=25-10+10-6= 19.