近五年湖北高考数学试题中的数学史题浅析

■湖北省武昌实验中学　简艺恒　戴洁珍（指导老师）



近五年湖北高考数学试题中的数学史题浅析

■湖北省武昌实验中学简艺恒戴洁珍（指导老师）

翻看近五年湖北高考数学自主命题试卷，我们发现有一个共同的规律：不论文科还是理科，试卷中都出现了一道有关数学文化史的试题.这似乎是一个趋势，一个标杆.《普通高中数学课程标准（实验）》提出高中数学要学习数学史、数学文化，提倡“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学应用意识”，突出以文化为主题的数学观、数学课程观和数学教学观.高考，无疑是贯彻落实“标准”最强劲的驱动力.

纵观近五年的湖北数学高考试卷，我们可以从以下几个层面对有关数学文化的试题进行剖析.

一、来源及知识点分析

湖北高考数学试题中有关数学文化史的基本来源于《九章算术》、古希腊格达拉斯学派的数学家、《数书九章》以及《算数书》.其中，《九章算术》、《数书九章》以及《算数书》都是我国古代数学成就的杰出代表.其中《九章算术》出自于我国汉代，其作者已不可考.《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题的形式，共收有246个数学问题.问题大多是与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题步骤，但无证明过程），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.所有问题依据性质和解法被归结为九章.涉及“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”以及“勾股”等内容.《算数书》比《九章算术》早出现一个半世纪，有说法认为《九章算术》与《算数书》有继承关系.《数书九章》则出自南宋数学家秦九韶，该书是他唯一的数学著作.相比而言，古希腊的数学流派出现得则要晚得多.

从表1可以看出，在湖北近五年高考数学试卷中，有关数学文化史的试题共有11道.其中，2011年文科卷第9题与2011年理科卷第13题相同，2012年文科第17题与2013年理科第14题相似，2014年文科第10题与2014年理科第8题相同，2015年文科第20题与2014年理科第19题一样，这些试题大多来自《九章算术》.《九章算术》在我国数学史上的地位可见一斑.

表1：近五年湖北高考数学有关数学文化史试题来源统计

从分值分配来看，有关数学史的试题由往年的5分已经上升到2015年的12分以及18分，数学文化史类试题在高考数学中的比重已越来越大.

从表2可知，有关数学文化史的试题涉及到的知识点主要集中在数列、立体几何证明与计算、各类几何形体的体积计算、比例计算等等.其中，数列与几何形体的体积计算比重明显较大.2015年甚至出现了有关数学史的几何证明题，且分值较大.

表2：近五年湖北高考数学有关数学文化史试题知识点分布及分值

二、试题举例

例1（2011年理科卷第13题）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升.

解析：设九节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，由题意知，a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，解得，于是

此题来自《九章算术》，主要考查数列问题的简单计算.

例2（2012年理科卷第10题）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）.

此题来自《九章算术》，侧重考查球体的体积计算公式的灵活运用.

例3（2015年理科卷第19题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图1，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF， BD，BE.

图1

（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF，试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

此题来自《九章算术》，与2015年的文科卷第20题相同，主要考查立体几何的证明与比例计算.

例4（2013年文科试卷第16题）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

此题来自《数书九章》，考查的是几何形体圆台的体积计算.

例5（2015年理科试卷第2题）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）.

A．134石B．169石C．338石D．1365石

答案是B.

此题来自《数书九章》，主要考查比例计算.该题在2015年湖北文科卷中再一次出现.

例6（2014年文科卷第10题）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）.

答案是B.

此题出自《算数书》，考查圆锥的体积计算，此题在2014年理科卷第8题中再次出现.

例7（2012年文科卷第17题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

图2

将三角形数1，3，6，10，记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第________项；

（Ⅱ）b2k-1=________（用k表示）.

例8（2013理科卷第14题）古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= _________________.

例7、例8来源于古希腊毕达哥拉斯学派的数学家，这两道试题都是考查数列的推导与计算.

结束语

高考试题中出现的有关数学文化史的试题在形式上虽然与我们平常作业不太一样，但实际难度并不太大，有的甚至很简单.对于出现的比较晦涩的古文或名词，一般也会描述或解释得非常清楚，对我们解题不会带来什么负面影响，相反，枯燥呆板的数学知识，通过有趣的描述，生动的实例，有时还能缓解我们考试时紧张的情绪，起到调节、镇静的作用，从而有利于我们考试的正常发挥，在不知不觉间还增强了我们的人文修养.法国数学家庞加莱说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这门科学的历史与现状.”的确如此！