关于三阶三角样条函数结构的研究

2016-03-31叶学敏

沈阳师范大学学报(自然科学版) 2016年1期

关键词：三阶样条结点

, 叶学敏

(辽宁师范大学数学学院, 辽宁大连 116029)

理论与应用研究

关于三阶三角样条函数结构的研究

(辽宁师范大学数学学院, 辽宁大连 116029)

近年来三角样条的相关理论发展迅速,取得了丰硕的成果,但仍然存在一些问题,尤其是在均匀结点的三阶三角样条的结构并不清晰。针对此问题,首先给出了均匀结点条件下的三阶三角样条函数的定义,这种三阶三角样条函数具有7个自由参数,因而自由度更大。为了分析其结构,通过讨论相邻2段三角函数的二阶光滑性限制条件,给出了关于这类样条函数构造的结构定理,该定理表明相邻一段三角样条函数表达式可以表达为前一段三角样条函数表达式与特定的带参数的三阶样条函数之和,这为构造具体三阶三角样条带来了方便。还给出了有限多结点条件下此类样条函数空间的维数定理。最后,通过结构定理给出了几个相关的例子。

三阶三角样条函数; 三阶三角样条基; 维数

0 引言

三角函数逼近的研究有着悠久的历史,事实上,它与多项式逼近研究的进展是同步的。当有了Weierstrass关于[a,b]闭区间上连续函数的多项式逼近定理时,相应地就有了关于[-π,π]上的连续函数的三角多项式逼近定理。在有了多项式样条后, 也有了三角多项式样条。三角多项式样条是1964年由 I.J.Schoenberg 最先提出并展开研究的[1],但他是用高阶微分算子的方法切入的。文献[2]是从构造三阶三角B-样条基函数来展开讨论的。文献[3]利用3个函数值来构造三次三角样条函数。文献[4-10]对三角样条函数做了不同程度上的讨论。本文研究三阶三角多项式样条,将其看作分片三角多项式来引入并展开研究。

1 三阶三角多项式样条

1) 首先考察S1(t)与S2(t)之间的关系。

3b2-2c2-f2=3b1-2c1-f1

9a2+4d2-e2=9a1+4d1-e1

即

解这个方程组得其基础解系为以下4个解向量:

记η11=a2-a1,η12=b2-b1,η13=c2-c1,η14=d2-d1,η15=e2-e1,η16=f2-f1,η17=g2-g1,(η11,η12,η13,η14,η15,η16,η17)′=k11α11+k12α12+k13α13+k14α14，其中k11,k12,k13,k14是数域K中任意数。

[1]FreemanTilden.Intepreting our heritage:University of North Crolina Press,1997,3（1）.

2) 用同样的方法处理S2(t)与S3(t)之间的关系,得

其中:η2(t)=η21sin3t+η22cos3t+η23sin2t+η24cos2t+η25sint+η26cost+η27;(η21,η22,η23,η24,η25,η26,η27)′=k21α21+k22α22+k23α23+k24α24;α21=(0,3,0,8,0,5,0)′;α22=(2,0,3,0,0,0,0)′;α23=(-1,0,0,0,3,0,0)′;α24=(0,0,0,1,0,4,3)′,k21,k22,k23,k24是数域K中任意数。

3) 对于S3(t)与S4(t)之间的关系,有

其中:η3(t)=η31sin3t+η32cos3t+η33sin2t+η34cos2t+η35sint+η36cost+η37;(η31,η32,η33,η34,η35,η36,η37)′=k31α31+k32α32+k33α33+k34α34;α31=(0,5,0,0,0,15,0)′;α32=(0,0,5,0,0,10,0)′;α33=(-3,0,0,-8,5,0,0)′;α34=(4,0,0,9,0,0,5)′,k31,k32,k33,k34是数域K中任意数。

4) 对于S4(t)与S5(t)之间的关系,有

其中:η4(t)=η41sin3t+η42cos3t+η43sin2t+η44cos2t+η45sint+η46cost+η47,(η41,η42,η43,η44,η45,η46,η47)′=k41α41+k42α42+k43α43+k44α44;α41=(0,3,0,-8,0,5,0)′;α42=(-2,0,3,0,0,0,0)′;α43=(-1,0,0,0,3,0,0)′;α44=(0,0,0,1,0,-4,3)′,k41,k42,k43,k44是数域K中任意数。

正如前面所说,S5(t)与S6(t)之间的关系和S1(t)和S2(t)之间的关系完全相同。这样,就得到三阶三角样条函数的结构定理。

定理1 对于满足条件的三阶三角样条函数S(t),有S(t)=Sn(t),n=0,±1,±2…,Sn(t)与Sn+1(t)之间满足如下关系:

其中η4n+m(t),m=1,2,3,4的系数满足如下关系:

(η4n+1,1,η4n+1,2,η4n+1,3,η4n+1,4,η4n+1,5,η4n+1,6,η4n+1,7)′=k4n+1,1α11+k4n+1,2α12+k4n+1,3α13+k4n+1,4α14,

(η4n+2,1,η4n+2,2,η4n+2,3,η4n+2,4,η4n+2,5,η4n+2,6,η4n+2,7)′=k4n+2,1α21+k4n+2,2α22+k4n+2,3α23+k4n+2,4α24,

(η4n+3,1,η4n+3,2,η4n+3,3,η4n+3,4,η4n+3,5,η4n+3,6,η4n+3,7)′=k4n+3,1α31+k4n+3,2α32+k4n+3,3α33+k4n+3,4α34,

(η4n+4,1,η4n+4,2,η4n+4,3,η4n+4,4,η4n+4,5,η4n+4,6,η4n+4,7)′=k4n+4,1α41+k4n+4,2α42+k4n+4,3α43+k4n+4,4α44,

k4n+i,j,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4是数域K中任意数。

2 例子

S4(t)=15sint+50cost+8cos2t-sin3t+14cos3t+20,S5(t)=

15sint+55cost-sin3t+17cos3t+20。

例3 已知在区间[0,π]上的三阶三角样条函数

当所有参数取1时的曲线及当kn,1=1/16,n=1,2,3,4,其他参数取0时的曲线在[0,π]上是一样的,其他区间会根据参数的变化而变化。无论已知函数在哪个区间段,都能根据定理1构造出后几段函数。

3 结论

本文讨论了均匀节点意义下一般三阶三角样条函数的构造及自然基的构成,而已有文献大多是从讨论B-样条基的构造开始的。经此校对知,在每2个样条节点之间的区间上,构成样条函数的基函数都不是7个,这就是说,这些方法构成的样条函数空间都是本文所述的样条函数空间的真子空间。

[1]SCHOENBERG I J. On trigonometric spline interpolation[J]. J Math Mech, 1964,13(5):795-825.

[2]HAN X. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J]. Comput Aided Geom D, 2004,21(6):535-548.

[3]吴晓勤, 韩旭里.C3连续的三角样条函数与曲线[J]. 应用数学, 2001,14(增1):26-29.

[4]孙倩. 一类含参数均匀三角样条及其插值曲线[D]. 合肥:合肥工业大学, 2006.

[5]HAN X. Quadratic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J]. Comput Aided Geom Des, 2002,19(7):503-512.

[6]翁祖荫. 一阶三角样条[J]. 数学年刊A辑(中文版), 1983,4(2):185-190.

[7]刘晓雁. 一类二阶三角样条[J]. 合肥工业大学学报, 1985,7(1):33-38.

[8]王仁宏. 数值逼近[M]. 北京:高等教育出版社, 2005:220-243.

[9]王仁宏,李崇君,朱春刚. 计算几何教程[M]. 北京:科学出版社, 2008:158-219.

[10]BURDEN R L, FAIRES J D. Numerical Analysis[M]. 北京:高等教育出版社, 2001:529-637.

Study of the structure of cubic trigonometric spline functions

WANGJingxin,YEXuemin

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

In recent years, the theory of trigonometric splines develops dramatically, and fruitful achievements have been made. However, some little information has been done on the structures of trigonometric splines. To solve this problem, we first propose the definition of cubic uniform trigonometric spline functions. This kind of splines has seven parameters in each interval which provide flexibilities in practical applications. To investigate the structures of proposed splines, we consider the second order continuity limitation imposed on two adjacent segments of trigonometric function, then we derive the structure theorem. This theorem demonstrates that the spline expression in each interval can be expressed as the sum of the previous cubic trigonometric function and one specific trigonometric function, which provide a more convenient approach in the design of trigonometric splines. Furthermore, we propose a dimension theorem of this kind of spline function with finite nodes. Finally, we give several related examples according to the structure theorem.

cubic trigonometric spline function; cubic trigonometric polynomial basis; dimension

2015-10-12。

国家自然科学基金资助项目(11226326)。