浅谈向量优化问题中解的性质研究

蒋娅

【摘 要】向量优化问题是向量优化理论与方法研究领域中十分重要的研究方向。该问题除了在数学领域的有效应用之外，在经济分析、生态规划建设等诸多领域也有着广泛的应用，相比于向量在数学领域只是单一的数值上的解答，在其他领域的应用中，向量优化问题更趋向于一种均衡的关系，使得事物在均衡关系中得到有效的发展，从而实现经济效益和社会效益的最大化。本文以向量优化问题中解的性质研究为课题，对其研究意义进行了详细的阐述。

【关键词】向量；优化问题；解的性质

向量优化理论的应用研究是向量发展的一个重要方向，近年来向量优化问题已经成为国际优化领域的重点研究对象之一。这一问题的研究因为涉及到多门学科，所以在研究上有一定的复杂性和繁复性，此外它在经营管理、交通运输和生态保护等诸多领域也有着广泛的应用前景，由此可见向量优化问题的重要性[2]。

1 向量优化问题解的研究现状及发展

1.1 向量优化问题中解的性质研究现状

众所周知，向量优化理论在经济管理、生态保护、交通运输以及集成电路的设计等诸多领域都有着深入的研究和发展，如今，向量优化问题也成为国际研究领域的一个重点发展方向。近年来，研究人员通过对向量优化中解的性质的研究得出，向量优化不仅对数学领域有着极大的帮助，而且对现实中的各行各业也有着非常深远的影响意义。向量优化问题的研究当中需要借助于大量的数学工具，通过对向量优化问题的深入研究，不仅能够促进向量优化问题中解的性质研究与发展，还能推动与数学相关的理论的发展，与此同时，这也极大的扩展了向量优化问题的应用和实践范围，使其能够在更广泛的空间中得到有序的发展[3]。

正因为向量优化问题中解的性质的相关研究具有丰富的理论和实践性的研究意义，所以向量的优化问题在20世纪60年代就得到了人们的广泛关注，并且大量学者在其研究上也投入了大量的时间和精力。正是因为无数研究人员在向量优化上的努力，使得向量优化问题取得了一系列的研究成果。这些研究成果主要体现在向量优化问题中各类解的概念，包括近似解概念的研究、弱有效解概念的研究以及各种类型的真有效解的研究[4]。

1.2 向量优化问题中解的性质的发展

向量优化问题中解的性质的研究包含了很多丰富的内容，关于向量的优化已经取得了很多的研究成果。结合以上对有效解、近似解性质的研究可以看出向量优化问题的发展方向应该是以其它领域的应用实践为主，例如向量在计算机领域的应用是进行一些图片的处理，因为向量的发展已经日趋成熟，所以在图片处理中会有一种专门的向量格式，这种情况下的图片处理相比于以前会更加的便捷和快速。除了在计算机图片上的应用之外，向量还在物理学上有着非常广泛的应用，物理学的力学、运动学和向量都有着密不可分的关系，此外，在物理中位移、速度和电场的强度都是向量，将这些物理问题用向量的有关知识进行解答，将会更加的简洁化和清晰化[1]。

2 向量优化问题的解及近似解的研究

2.1 向量优化的解

在向量优化问题的研究中，如何定义解的概念是研究过程中最基本的问题，向量的优化一开始是在数学领域应用，因此数学领域对向量的解的定义多数都是数值上的有效计算，如向量的有效解和最优解以及无效解都只是数值的简单计算，而在其他领域应用向量优化问题的研究则需要考虑向量优化问题目标空间的“偏好”，这将是定义向量优化问题解的概念的基础。向量中的有效解的概念是在1986年由经济学家Pareto提出的，后来被人们称之为Pareto有效解，这也是对Pareto在向量优化问题上所作出的巨大贡献的一种认可。

Pareto有效解很好的阐述了向量优化问题中解的最优性，其在向量的研究领域和实际的应用领域中都具有非常重要的意义，但这并不意味着Pareto有效解的概念已经趋于完美，因此还需要对Pareto有效解概念中的缺陷进行后期的弥补和完善。例如Pareto有效解的解集一般都比较大，不具有标量化的性质，不利于向量优化问题的计算解答。

2.2 向量优化问题中近似解的研究

在现实生活中，利用一般的数值算法通常只能得到向量优化问题的近似解的值，与此同时，向量的优化问题若不是在非紧的条件下弱有效解和真有效解可能是不存在的，由此可见，近似值的研究对于向量优化问题起着非常重要的作用。近似解的研究概念正式提出是在1979年，Kutateladze在文献中首次提出了数值优化问题的ε-近似解。通过Kutateladze对近似解的研究，进一步的建立了近似解的最优性条件。这也便于向量优化的研究人员对各种有效解进行更系统和更深入研究。

3 向量优化问题中解的性质研究

3.1 向量优化问题中近似解的性质研究

向量优化问题中近似解的性质是向量优化问题研究领域的一个重要的研究环节。由于利用数值算法得到的一般都是近似解。自从1979年Kutateladze正式提出近似解的概念后，国际上很多学者对近似解都产生了浓厚的研究兴趣，并且对近似解的性质和存在性进行了大量的实验探究，主要表现在以下几个方面：

首先向量的优化问题中衡量向量值的“大小”存在不完全偏序，这样就导致向量中存在的问题呈现了误解的状态。因此，向量优化问题解的存在都是在假设的情况之下，特别是可行集在某种意义上的凸性。其次，在求解非线性优化问题上，都是采用迭代算法进行计算，而利用这种方式也能进一步的得到优化问题的“近似”最优解。并且在实际的应用问题中，优化问题的近似解还能提升非线性问题的理论发展，在实际的生活工作中近似解还能为决策者提供恰当的方案。

3.2 向量优化问题中有效解的性质研究

向量优化问题中关于有效解的性质研究主要体现在以下三个方面：

（1）在非紧性条件下弱有效解一般不存在，而近似于弱有效解的解在比较弱的条件下可能是存在的。

（2）有效解分为真有效解和弱有效解，然而在大多数的情况下都是对真有效解进行研究。

（3）有效解的存在在向量优化问题中的应用大多数是在有效解集得到限制刻画后施行的。

以前的研究成果对于有效解的研究都是基于一些定义之上，再根据其定义的有效推算，探究有效解之间的关系和内在性质的研究。虽然中国对有效解的研究起步比较晚，但是在具体的应用中有效解集的概念早在20世纪80年代就已经出现，经过这三十多年的研究，对于有效解性质的研究已经取得了大量的成果。

综上所述，通过对向量优化问题中解的性质的研究可以发现向量优化问题不仅在数学领域有着广泛的应用，在经营管理、交通运输和生态保护等诸多领域也有广泛的应用前景。因此，大量研究人员已经将向量优化问题作为一个重要的研究对象，对其解的性质的存在性和应用性进行深入的研究和运用。对向量优化问题的最优解和近似解性质、概念和存在性的研究是向量优化问题的主要研究成果，也正是通过这些成果使得向量优化问题中解的性质研究迈入了一个新的台阶，并且为向量优化问题在各个领域的应用打下了坚实的基础，这样也间接的促进了国家经济效益、环境效益、社会效益的共同提升。

【参考文献】

[1]文乾英，焦建军.Minty向量似变分不等式与非光滑向量优化问题[J].湘潭大学自然科学学报，2014，（1）：21-25.

[2]赵亮，刘学文.非光滑向量似变分不等式与向量优化问题[J].湖南师范大学自然科学学报，2014，（1）：69-75.

[3]傅俊义.具有控制结构与不变凸映射的向量优化问题[J].南昌大学学报（理科版），2014，（1）：4-7.

[4]邓杰，寇喜鹏.含参向量优化问题有效解映射的平静性[J].四川大学学报（自然科学版），2014，（5）：868-872.

[责任编辑：王楠]