教学质量评价的马尔可夫链模型研究

方 倩 珊

(漳州城市职业学院教师教育系，福建 漳州 363000)



教学质量评价的马尔可夫链模型研究

方 倩 珊

(漳州城市职业学院教师教育系，福建 漳州 363000)

摘要：为更全面、科学地反映教师的教学质量，摒除传统的以学生考试成绩的高低、合格率等指标来衡量教师的教学效果评价方法，利用马尔可夫理论提出教学质量评价的马尔可夫链模型。阐明该模型的理论依据及具体的算法步骤，解决仅依靠学生的考试成绩来评估教学质量的难题，以期能比较公平、客观地评价教师的教学效果。以实例验证该模型的可行性、合理性。

关键词：马尔可夫链；模型；教学质量；客观评价

0引言

马尔可夫链(Markow chain)评价法简称M.C.评价法，是一种以概率论和随机过程理论为基础，运用随机数学模型来分析对象发展变化过程中的数量关系的一种统计分析法。若某随机过程，从时刻n处于状态i，转移到时刻n+k处于状态j的转移矩阵只与时间间隔k有关，而与“历史”无关，这个系统就称为马尔可夫链。由于马尔可夫链有良好的数学基础作为支撑，拥有其他方法没有的优良性，至今仍为国内外学者研究的热点。近年来，已被广泛地应用在股票预测、环境质量、教育教学、语音识别、文字信息、信息安全等方面，特别在教学质量评价方面具有十分重要意义。

在对教师进行教学质量评价时，传统的方法往往是以所教学生的最后考试成绩为依据，这样的评价方法没有考虑教学过程中学生个体的变化情况，忽略了学生的基础差异，带有很大的片面性，使评价结果有失公平。要客观评价教师的教学效果，必须剔除学生的基础差异这一因素。马尔可夫链的极限状态表明，在稳定的教学质量、教学条件下，学生总体上可能达到的程度与学生原有的基础是无关的，也就是无后效性。因此，利用马尔可夫理论提出教学质量评价的马尔可夫链模型，解决了仅凭依靠学生的考试成绩来评估教学质量的难题，以期能比较公平、客观地评价教师的教学效果。

1马尔可夫链的基本理论

定义1马尔可夫链

成立，则称这类随机过程是马尔可夫链。它具有无后效性。

定义2一步转移概率

定义3平稳性和遍历性

定义4一步转移矩阵

2马尔可夫链评价模型研究

马尔可夫链评价模型是利用经验概率来创建初始分布和状态转移矩阵，通过比较两次考试在不同成绩等级上的学生人数变化来构建转移矩阵。因此，在教学质量评价中转移矩阵至关重要。它反映了教学质量、教学条件、教学管理、学生内在心理状态等因素的综合变化情况。由于此系统的马尔可夫链的概率分布是平稳的，所以虽然各等级学生之间的微观变化客观存在，但总体上各等级学生的相对比例还是会保持稳定。

2.1数学模型的建立

此模型包含成绩划分等级、确定一步转移矩矩阵、求出极限向量、判断4个建模步骤。

由马尔可夫链的平稳性和遍历性可知，马尔可夫链的转移概率矩阵P确定后，必存在极限分布X=(x1,x2,…,xs)。据此，可求出稳定的概率向量，得到具体的量化指标，即可量化出教师教学质量的优劣，从而对教师的教学效果进行客观评估。[3,4]

2.2算法步骤

Step1:列出学生个体成绩等级转移表

首先采集数据，确定分级。对学生成绩的分级可按实际需要来划分，如按传统的分类，可划分为5个等级：优秀为[90,100]，良好为[80，90],中等为[70，80],及格为[60，70],不及格为[0,60]；如若学生的成绩大体上呈正态分布或接近正态分布时，可按正态分布的规律来划分等级。然后根据分级情况，列出学生个体成绩等级转移表。该表由学生编号、第一次考试成绩、第二次考试成绩、两次考试中成绩转移情况(ij表明该生从i等转向j等)等4项内容组成。

Step2:根据转移情况确定转移矩阵P

Step3:求转移矩阵P的平稳分布X

对于以P=(Pij)5×5为转移矩阵的马尔可夫链{Xn,n=0,1,2…}来说，

Step4:求出教师教学效果的量化指标,即数学期望

根据最大项原则，可用其中最大的等级值表示教学工作质量，若将一等、二等、三等、四等和五等分别赋值为u1、u2、u3、u4、u5，则只需将极限向量X=(x1，x2，x3，x4，x5)代入量化指标公式Ai=u1x1+u2x2+u3x3+u4x4+u5x5中，即可求出该班稳定的期望成绩Ai(i=1,2)，进而通过比较Ai的大小来判断教学质量。

3实例分析

以漳州城市职业学院初教专业2014级A、B两个班的数学课程考试的成绩为例，来验证此模型的可行性、合理性。取两个班级2次的高等数学成绩，其中X1表示第一次高等数学成绩，X2表示第二次高等数学成绩。

表1　A班考试成绩及等级转移情况

表2　B班考试成绩及等级转移情况

因为两个班的学生成绩来自同样的考试，所以将两个班的学生成绩并在一起，从高到低进行排序，并分为5个等级，ij为某学生成绩从第i等级转移到第j等级(i,j=1,2,…,5)。其中状态“1”为90～100分；状态“2”为80～89分；状态“3”为第70～79分；状态“4”为60～69分；状态“5”为60以下。

对上述2个班级学生的第一次成绩、第二次成绩分别进行排名，然后按上述分数确定每个学生在2次测验中所在的等级，由此得到2个班级的成绩转移矩阵分别为：

利用上述算法，结合Matlab软件，进行程序计算，得A班教学系统状态转移矩阵的极限向量为XA=(0，0.6453，0.2056，0.1111，0.0333),同理求得XB=(0，0,0.6667,0.3333,0)。

上述稳定成绩分布表明：对于A班而言：其中一等0%，二等64.53%，三等20.56%,四等11.11%，五等3.33%；而对B班而言：其中一等0%，二等0%，三等66.67%,四等33.33%，五等0%。结果说明：A班，二等占多数；B班，三等占多数。可见，A班在等级名次上占优势。

如果将各个等级赋值：优秀为90分，良好为80分，中等为70分，及格为60分，不及格为50分，可求出期望成绩为：

SA=0×90+0.6453×80+0.2056×70+0.1111×60+0.0333×50=74.347分

SB=0×90+0×80+0.6667×70+0.3333×60+0×50=66.667分

马氏链分析的结果是：A班教师的教学效果好于B班。但是如果从当前成绩看，A班的平均成绩为79.68分，B班的平均成绩为81.08分，显然B班比A班优秀。事实上，产生不同结果的原因在于学生的基础差异问题。开始学习时，A班的基础比B班差，但经过一定的学习过程后，A班的“进步度”比B班大，即A班进步的幅度比B班大。[7,8]这显然与教师的教学效果有关，说明A班的教学效果比B班的好。可见这种评价模式比单纯比较两班最后考试成绩的评价方法更合理，较能客观地反应出教师教学水平的优劣，有助于任课教师的自我评价及预测学生的发展变化趋势，有助于因材施教，提高教师的教学工作质量和效果。

4结束语

实践证明，马尔可夫链的评价模型在反映课堂教学过程中教学效果的变化趋势方面是比较可靠的，是一种教学效果定量评估的有效方法。它解决了仅从学生的成绩去评价教师工作质量，而学生的基础存在差异的问题，比较真实客观地反映了教师的教学效果。但任何一种评价模式都有其自身的局限性，马尔可夫链评价模型也不例外。如马尔可夫链评价模型只是以学生的考试成绩作为评价依据，在评价中忽略了学生内在心理状态、学校管理、外部社会影响的转变和命题等因素对成绩的影响，而这些因素直接或间接的影响都会在转移概率矩阵中体现出来；又如本文所用的是一阶马尔可夫链，只适合于中短期的预测，能否把一阶马尔可夫链推广到高阶马尔可夫链，使其能增加长期预测的可靠性等，都值得进一步的探索和研究。因此，在实践中要分析这些局限性，充分考虑到这些因素，结合实际情况，及时修改转移概率矩阵，在评价过程中不断地改进和完善马尔可夫链的评价模型，这样才能使得评价的结果更全面、更合理、更客观。

参考文献：

[1]万里亚.马尔可夫链在教学质量评价中应用.南通职业大学学报,2011，(02):27-29.

[2]孙恒荣.随机过程及应用.北京:清华大学出版社,2004:24-47.

[3]高卓.浅析转移矩阵分析法的应用.赤峰学院学报：自然科学版,2014，(05):1-3.

[4]冉建.基于马尔可夫链和多元统计分析的体育教学质量评估方法研究.教育理论与研究,2013，(18):60-62.

[5]杨伟传.马尔可夫链在教学质量评价中的应用.教育测量与评价：理论版,2011，(02):27-30.

[6]孙祥,徐流美.Matlab 7.0基础教程.北京:清华大学出版社,2006:42-68.

[7]朱丽波.马尔科夫链模型在学生学习评价中的应用.内蒙古师范大学学报：教育科学版,2015，(08):115-117.

[8]刘鲁文,陈兴荣,何涛.基于马尔科夫链的教学效果评估方法.统计与决策,2014，(03):93-94.

[责任编辑：王荣荣英文编辑：刘彦哲]

Markov Chain Model of Teaching Quality Appraisal

FANG Qian-shan

(Teacher Education Department,Zhangzhou City University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)

Abstract:To comprehensively and scientifically reflect the teachers’ teaching quality level and to dismiss traditional measurement indicators of the teachers’ teaching effect according to students scores,percent of pass and so on,based on Markov theory,Markov chain model of teaching quality evaluation was put forward.This paper illustrated the theory basis and the specific algorithm steps of the model, and settled the problem that it is difficult to rely on students’ test scores to evaluate teaching quality because of the students’different bases,in hope of fairly and objectively evaluating the teachers’ teaching effect.And an example was given to demonstrate the feasibility and rationality of the model.

Key words:Markov chain;model;teaching quality;objective evaluation

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2016.01.003

中图分类号：R 285.5

文献标识码：A

作者简介：方倩珊(1972-)，女，福建云霄人，副教授,从事数学教育研究。

来稿日期：2015-11-04