数学美与大学数学教学

丁巍沈阳师范大学，辽宁沈阳110034



数学美与大学数学教学

丁巍
沈阳师范大学，辽宁沈阳110034

摘要

通过介绍数学美的本质及其基本特征，并结合《线性代数》及《微积分》课的教学实践，论述了在数学教学中如何挖掘数学美的特征进行美学教育。

关键词

数学美；大学数学教学；美学教育

大学数学基础课，不仅是学生掌握数学工具的主要课程，是学生培养理性思维的主要载体，更是学生接受美感熏陶的一种途径。如果教师在教学过程中能经常自觉地渗透数学美的思想，这对于不断增强学生的学习兴趣，提高学习效果是大有裨益的。笔者在《线性代数》及《微积分》课的教学实践中，曾经进行过一些有益的尝试，收到了很好的教学效果。

一、数学美的本质

在数学发展史中，不少数学家对数学中的美作过评价。

古希腊伟大的哲学家亚里士多德指出：“认为数学的科学全不涉及美或善是错误的……数学的科学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式。”古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”罗素把数学的美形容为一种“冷而严肃的美”“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美……”庞加莱认为：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”怀德黑做了形象的比喻：“作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学媲美。”著名数学家波莱尔指出：“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价的。”

从这些论述中，清楚地表明数学美是为数学活动者们亲身体验及感受到的一种存在，数学中包含着丰富的美的因素。

关于数学美的本质，从国内的研究来看，有这样一些描述：“数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现”“数学美是数学创造的自由形式”“数学美是真与善的统一”“数学美的本质在于序”，等等。

黑格尔曾经这样指出：“美可以有许多方面，这个人抓住的是这一方面，那个人抓住的是那一方面。”与其寻求一个对数学美的严格定义，不如从总体上把握构成数学美的本质的基本方面。

（一）数学美的客观性

即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管审美主体的主观条件不同，但并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，这并不能改变数学美的存在。

（二）数学美的社会性

数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。数学家通过数学实践活动，使自己的本质力量“对象化”，或者说“自然人化”了。所谓“人化”，就是人格化，即自然物具有人的本质印记，实质上就是社会化。这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。

（三）数学美的物质性

数学美的内容——人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必须有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。

（四）数学美的宜人性

即数学美的形式应该使审美主体感到愉悦。审美主体的愉悦性，一方面自然是由审美主体的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，还在于对象本身是具有足以引起主体愉悦的属性和条件。简言之，数学美的形式必须与人的认识，人类心灵深处的渴望在本质上相吻合。

二、数学美的基本特征

数学美是一种科学美，我国著名数学家徐利治教授指出:“作为科学语言的数学，具有一般语言文学和艺术所共有的特点，即数学在其内容、结构和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，数学概念的简洁性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容”。这段话是对数学美内容和形式的精辟论述，统一性、对称性、简洁性和奇异性可以看成是数学美的基本特征。

（一）数学的统一美

数学美的统一性，是指数学中部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。数与形，本是数学研究的两个独立的对象，对它们的研究，分别构成了代数与几何。然而，通过坐标系的建立，使点与数建立了对应，从而把代数研究的对象与几何研究的对象——方程与曲线联系起来，实现了统一。

数学研究的内容浩如烟海，而依布尔巴基学派的观点来看，可以统一为代数结构、序结构和拓朴结构；欧氏几何内容繁多、错综复杂、变化无穷，然而，它可以统一在五组公理之下。

从数学发展的规律来看，数学的发展将日益证明数学的统一性。为了使庞大的数学体系变得简单而精确，数学家们经常依据数学各领域的共性，提出统一数学各部分的新观点、新理论。算子理论、群论、拓朴理论都是与许多具体数学内容统一的结果。公理化方法、结构思想就是从统一性目标出发而提出的建立数学体系的方法。

（二）数学的对称美

大自然以对称方式构造了人，给人自身以美的启迪。藉此，人们发现了一切生物界的对称结构及至天体和大自然中的种种对称结构，进而对称概念上升为一个哲学范畴受到青睐，且促使人们艺术地潜心研究，创造了越来越多的对称。

在数学中，对称概念被严格化、形式化了，从而更加展示了它的美。具有对称性的对象常常具有更多更美的性质，从而，更加吸引数学爱好者。例如，圆所具有的最优秀对称现象；对称矩阵的形式美及用其特有的对称性解决求逆阵的简明，等等，都说明数学中对称美的内涵和特殊的意义。此外，数学中的所谓对偶空间，共轭空间，对偶命题，互反定理等，何尝不是具有一定意义下的对称性质，且包含极其美妙的内容！特别值得一提的是:对称性常常给我们带来计算和证明数学问题中的许多方便和简单。

（三）数学的简洁美

所谓数学美的简洁性，按其内涵来看，有些类似于一般艺术欣赏中所说的浅易美。英国学者威廉·奥卡姆认为，在诸多理论中最简单的那个理论，即是最美的理论，而美的理论才能在竞争中取胜。伽利略说过:“数学是上帝描述大自然的音符。”的确，数学语言本身就十分优美，不可用别的语言来代替。哲学家也承认，世界上没有任何一种语言比数学语言来得更为简洁而确切。如牛顿的力学定律、电磁场的麦克思韦方程、爱因斯坦的相对论公式，等等，其描述的自然规律是何等深刻、重要而复杂，但它的数学表达式又是何等的简洁！这正是数学语言简洁美的精彩表现。

许多数学分支都引入简明的公理体系，依赖于它演译出了深邃而复杂的种种数学学科，如线性空间理论、群论、欧几里得几何等，正是建立在几条简单公理之上，而堪称典型的公理化学科，宛如几根柱石托起一座座精美的高楼，把数学大观园点缀得光彩夺目。

（四）数学的奇异美

数学美的奇异性特征，即在于“新”与“奇”。它正好迎合于人们在艺术欣赏和科学探索中求新求异的心理意境。奇异有时也近乎荒诞，因而奇异性与通常艺术欣赏中所说的荒诞美、滑稽美有些类似。因为奇异之处，容易使人产生崇高感，在数学中对于新奇的领域和新奇的问题，也可以使数学家产生一种神秘莫测的美感。

奇异是一种美，奇异到极度更是一种美，在某种意义上，数学中的和谐性与奇异性是世界的统一性和多样性在数学中的反映。客观世界表现为统一性与多样性的统一，而数学则是和谐性与奇异性的统一。数学美是数学发展的内在驱动力之一。对于事物的奇美性，培根曾指出:“没有一样极美的东西不是在调和中存在着某种奇异。”事物的奇美性往往能给人以一种奇特而新颖的感觉。就数学中的奇异性而言，其中颇有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活经验也告诉我们，凡是新而不平常的东西，总能在人们的心灵深处感受到一种愉悦的惊奇。同时，人们的好奇心也得到了一定程度上的满足。如果在学习中能引发起学生的这种好奇心，那么就能极大地提高他们的学习效率。

三、在数学教学中进行美学教育

在数学教学中进行数学美审美教学，应当与数学的理论教学及能力培养相结合，充分揭示数学美的特征，把数学美的教育渗透到数学教学过程中去，寓教于乐，使学生在潜移默化之中获得美的修养。

（一）揭示统一美，使学生知识系统化

在数学学习中，学生的思维程序紊乱现象较为普遍。不少学生习惯于用单一的、孤立的方式思考问题，不善于将已学过的知识归纳整理，形成知识系统，往往满足于会解某些类型的题目，忽视进一步的概括综合和挖掘提炼，缺少从整体上把握内容的有效方法。教师如能努力挖掘教材中的潜在因素，充分展示数学美的统一性特征，有利于学生形成良好的知识结构。如线性代数有两条主线，即一条是向量空间及其上的线性变换的概念和理论，另一条是矩阵的理论，这两个方面之间有一个联系的桥梁，就是“基”，这充分展示了数学的和谐美和统一美。对数学教学中的许多问题，教师应适当引导学生进行统一概括，这样，不仅可以浓缩内容，而且易于解决相应复杂的问题。在数学教学中，应通过揭示数学美的统一性特征，使学生在头脑中建立“知识链”，形成知识网络，学会整理知识的方法；引导学生体会并理解数学在各分支间的统一美，提高思维的概括性以及综合运用知识的能力。

（二）展示对称美，消除思维定势的影响

例如对称矩阵，它蕴含丰富的美学因素，所谓对称矩阵A是指它的元素满足aij=aji的n阶方阵。任何事物的对称本身就已有了美的神韵，对称矩阵有一条天然的对称轴（主对角线），从对称矩阵外表来看，它就给人一种美的享受。

对称矩阵是否有美的内涵？当A为实对称矩阵时，它不仅合同于对角矩阵，而且也相似于对角矩阵，即有正交矩阵P，使得

其中，λ1,λ2,L,λn为A的全部特征值。

上式说明对称矩阵进行变换后，仍然是对称矩阵，而且是最简单的结果。此式显示了矩阵的整齐对称美与最终结果的简洁美。

在教学中，不仅要让学生领略这种对称美，更重要的是让学生自觉地运用对称性质解决某些具体问题，以提高分析问题的能力。在教学中，教师挖掘数学美的对称性特征，对学生掌握数学思想方法和训练学生思维的灵活性，消除思维定势的影响，会起到重要作用。目前，在数学教学中存在的不注意学生思维过程，不注意知识的发生和发展过程，而一味要学生背题型、套方法的“题型数学”，严重阻碍对学生思维灵活性的培养。因此，让学生树立对称美的意识，教会学生从对立的观点去思考问题，在思维方向的选择上，既会顺向，又会逆向，灵活运用，具有重要意义。

（三）追求简洁美、培养思维灵活性

简洁性这一数学美的特征要求人们在学习数学的过程中，把握事物的主要矛盾，把握事物内部最简单最基本的联系。而思维的灵活性是指在学习过程中，不纠缠于事物的表面现象，能有意识地从本质上和整体上看问题，注意从事物之间的联系和矛盾上来理解事物的本质，克服和减少思维的片面性和绝对化。教师在教学中揭示数学的简洁美特征，能够促进学生思维灵活性与深刻性的发展。例如，

如果直接求出每个代数余子式Aij，再求和比较麻烦，如注意到伴随矩阵A*=(Aji)及A*A=|A|E，即A*=|A|A-1，因此，只要求出|A|及A-1，就可通过A*计算代数余子式的和。

许多数学问题，虽然表面形式可能较为复杂，但其本质总有简洁的一面。如能培养学生对问题进行整体简化处理，则可化难为易。

（四）寻觅奇异美，培养创造能力

在数学教学中，教师挖掘奇异美应与培养学生的创造性结合起来。学生在学习过程中，虽然不一定能提出新的科学概念或发现新的理论，但所学的知识对于学生来说都是崭新的、首次遇到的，从这个意义上说，学生在学习过程中是会有创造思维活动的。

例如微分和积分，当初人们是作为互不相干的两种运算来做，后来竟发现它们是互逆的（以牛顿——莱布尼兹定理为标志），由以下式子表示：d∫axf(x)dx=f(x)dx。即运算d与运算∫ax互抵了。用几何的语言来叙述是：一条曲线下方的面积（由积分计算）的微分（求微商）竟是曲线本身。

新奇才有艺术，“未曾料到”才引人入胜，这也是数学的魅力、数学的美。数学美的内涵是丰富多彩的，但数学美的诸方面应互相结合，只要在教学中努力挖掘数学美的特征，着意培养学生的美感，必能收到良好的审美教育效果。此外，在数学教学中进行数学美的教育，教师本人的审美能力与美学修养也很重要。在教学中，教师的精练语言、精辟的分析、生动的表达、巧妙的启发、严谨的推理、讲究的板书，等等，都是学生学习审美的榜样。

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（责任编辑：彭琳琳）

文献标识码A

中图分类号G640

收稿日期2015-12-17

作者简介：丁巍（1961－），男，辽宁沈阳人，沈阳师范大学数学与系统科学学院副教授，硕士，研究方向：矩阵计算及其应用。