基于多模式相关的混凝土重力坝服役寿命研究

胡魏玲，邓念武，刘任莉

(武汉大学水利水电学院，武汉 430072 )

1 研究背景

我国已兴建各类水库大坝8.6万多座，这些水库大坝在防洪、灌溉、发电、航运、供水以及旅游等方面都取得了巨大效益。在大坝服役期间，外界水位、气温、地质等条件的变化都会对大坝的实际运行状态产生较大影响，另外，各种外界荷载和材料老化共同作用下，坝体的稳定性和承载能力都无法维持在初始设计水平，随着时间的推移，坝体承载力和稳定性都会有所降低，其服役寿命也将有所降低。随着我国众多大坝工程50 a设计基准期的临近，以及病险坝数量的日益增加，大坝使用寿命科学评价理论和方法体系的构建已经成为迫切需要解决的热点问题[1]。

大坝是一种荷载情况复杂的大体积结构，其服役寿命很大程度上取决于所受荷载和自身承载能力的时变特征，研究大坝服役寿命特征前提是研究大坝的可靠性随时间的变化规律。结构体系可靠度是衡量结构整体性能的重要指标。目前常用失效模式法计算结构体系可靠度，主要步骤包括：寻求结构主要失效模式；计算各失效模式对应的失效概率；以各失效模式的失效概率为基础应用相关模型计算系统的整体失效概率[2]。

本文分析大坝服役寿命重点在于计算大坝系统的时变可靠度，将采用上述思路寻求大坝主要失效模式、计算各自对应的时变可靠度及综合时变可靠度。同时，本文在考虑各个失效模式间相关性的基础上，重点研究如何根据各个模式的可靠度计算大坝的整体可靠度问题。

2 重力坝失效模式

研究重力坝体系服役状态时，一般认为重力坝体系各坝段独立工作。研究结构体系工作性态时，通常将结构系统看成是由各个组件组成的串联、并联或串并联体系。研究表明[3]，若考虑各个组件之间的相关性，认为各组件之间连成并联或串并联体系，最终计算出系统可靠度将高于串联体系可靠度。偏于安全地考虑，本文将重力坝视为各坝段独立工作的串联体系。根据重力坝设计规范和计算方法，工程上主要考虑以下3种失效模式：沿坝基面抗滑稳定、上游坝踵抗拉、下游坝址抗压[4]。以某典型混凝土重力坝为例，坝体断面如图1所示，根据重力坝设计规范分别计算静力条件下3种典型失效模式的功能函数。

图1 典型重力坝断面图Fig.1 A typical cross-sectional view of gravity

(1)沿坝基面抗滑稳定：

Z1=f(∑W-U)+c′A-∑P

(1)

式中：f为坝体与坝基连接面的抗剪断摩擦系数；∑W为滑动面以上作用于计算截面的所有荷载在铅直方向投影的代数和，kN/m；U为作用于滑动面上的扬压力，kN/m；c′为坝体与坝基连接面的抗剪断凝聚力，kN/m2；A为坝体与坝基连接面的面积，m2；∑P为滑动面以上作用于计算截面的所有荷载在水平方向投影的代数和，kN/m。

(2)上游坝踵抗拉。

Z2=Rt-σ′y

(2)

式中：Rt为坝体材料的抗拉强度，MPa；σ′y为上游坝踵处边缘应力。

按材料力学方法得出表达式如下：

(3)

式中：∑M为作用在计算截面以上全部荷载对截面形心的力矩总和，kN·m；T为计算单位截面沿上下游方向的宽度，图1中，T=B2，m。

(3)下游坝址抗压：

Z3=Rα-σ″y

(4)

式中：Rα为坝体材料的抗压强度，MPa；σ″y为上游坝趾处边缘应力。

材料力学方法得出表达式如下：

(5)

3 荷载及抗力效应时变模型

研究大坝的服役形态，关键在于求解各失效模式对应的功能函数及其可靠度。已知上述3种失效模式，要求解其功能函数，需要考虑上述公式中涉及的各个参变量，求解失效模式对应的荷载和抗力。本文基于可靠度理论，考虑大坝所受荷载和抗力的时变特征，研究大坝的可靠度及服役寿命时变特征。

通过对公式(1)～(5)中各个参量的分析[7]，本文主要考虑以下参量的时变模型：扬压力折减系数α、抗剪断参数f、c′、混凝土抗压强度Rα和抗拉强度Rt。

根据贡金鑫[8]等人的研究，随时间变化的抗力具有不确定性，可以分为材料性能不确定性、几何参数不确定性和计算模式的不确定性。抗力随机过程模型可以表示为：

R=KpRp(t)

(6)

式中：Kp为描述计算模式不确定性的随机变量；Rp(t)为结构的计算抗力。

Rp(t)可以表示为:

Rp(t)=R[fmi(t),ai(t)]

(7)

式中：fmi(t)和ai(t)为第i种材料的材料性能和几何参数，是时间t的函数。

参照上述思路，扬压力折减系数等参量时采用如下模型：

R=R0φ(t)

(8)

式中：R0为t=0时刻参量值，即设计初始值，如初始扬压力折减系数设计值；φ(t)为一确定性函数，与对应的参量时变特征有关。

当R的分布模型不变时，其均值满足：

μR=μR0φ(t)

(9)

根据坝工理论[9]，大坝服役过程中由于混凝土碳化、帷幕灌浆老化、环境侵蚀等原因，材料的容重、抗拉强度、抗压强度、摩擦系数和凝聚力都呈现下降趋势，而由于淤积泥沙有上升的趋势，扬压力折减系数也表现出上升趋势。现今一般认为，可以用威布尔函数描述各参量的变化规律[5]：混凝土密度γc对应的衰减函数为φ1=e-0.000 5 t；抗拉强度Rt、抗压强度Rα、参数f、c′对应的衰减函数为φ2=e-0.005 t；扬压力折减系数α对应的衰减函数为φ3=e0.005 t，以上t的单位为年。代入式(6)可得：

Rα=φ2Rα(0)

(10)

Rt=φ2Rt(0)

(11)

式中：Rα(0)、Rt(0)分别为初始时刻的材料抗压、抗拉强度，此处表现为初始设计值。

以某具体混凝土坝为研究对象，将上述参量代入公式(1)～(3)，就可以算出各模式对应的功能函数，Z1、Z2、Z3。考虑到参量中t为唯一自变量，即Z-Z(t)，功能函数为一与时间有关的函数，在此基础上可以结合可靠度理论分析其时变可靠度。

4 可靠度理论及相关模型

根据可靠度理论，求解可靠度的关键在于建立结构的功能函数，一般情况下，可以将影响结构可靠性的因素分为两个综合效应量，抗力效应R和荷载效应S，用功能函数Z=R-S表达结构的可靠度[5,6]。结构可靠性态根据功能函数值的不同可以分为三类：Z>0，结构处于可靠状态；Z=0，极限状态；Z<0，结构处于破坏失效状态。分析可靠性的本质就是计算结构在特定条件下对应于某种失效模式的失效概率，可靠度理论中，定义失效概率为Pf=P(Z=R-S<0)。根据均值和方差的基本定义，可得Z的均值和方差：

μZ=μR-μS

(12)

σ2Z=σ2R+σ2S-2ρRSσRσS

(13)

式中：μ为均值；σ2为方差；ρRS为抗力函数与荷载函数之间的相关系数。

可靠度理论定义如下：

(14)

称β为可靠指标，将式(12)和式(13)代入式(14)可以求得β。

结构处于失效状态的概可靠指标率为失效概率，即功能函数Z=R-S<0的概率，以Pf表示为：

Pf=P(Z<0)

(15)

假设Z服从正态分布，则：

以上文中分析的3种失效模式为基础，考虑各时变因子后可以求解对应的时变功能函数Z(t)，再根据可靠度计算方法求解各个功能函数对应的β、Pf，需要注意的是，此处求得的β、Pf都是与t有关函数，当t对应不同的时间点时，将对应不同的可靠度和失效概率，由此可通过时变可靠度分析大坝服役状态时变规律。

4.1 重力坝体系可靠度计算常用模型

对于含有多种潜在失效模式的结构可靠度问题，结构整体可靠度与各个失效模式均有关。作用在结构上的每个失效模式上的荷载组合具有共用性，同时结构具有共同的材料抗力特性，因此体系失效模式间具有相关性是一个客观事实[11]。

考虑多失效模式相关的可靠性计算理论主要源于结构失效模式的组合多样性[12]。近年来也有一些学者考虑模式间相关性进行可靠度研究，文献[13]考虑失效模式完全相关与完全不相关的极限情况，文献[14]采用自适应重要抽样方法计算岩质边坡平面滑动的体系可靠度，文献[15]基于加权响应面法，将重力坝坝基内各深层滑动路径视为串联体系，研究了某深层抗滑稳定体系可靠度。

目前的可靠性分析方法多通过失效模式确定对应的可靠指标，进而求解体系可靠度。以混凝土重力坝为研究对象，假设有n的相关失效模式，则此大坝可靠度R的计算表达式为：

Rs=P(Z1>0∩Z2>0∩…Zn>0)=

(17)

式中：Rs为系统的可靠性概率；Zi=Ri-Si(i=1,2,…，n)，Ri为抗力效应，Si为荷载效应，Zi为第i个失效模式对应的功能函数，fz(Z1,Z2,…,Zn)为各功能或失效模式随机变量的联合概率分布函数。

上式中联合密度分布函数往往很难确定，同时进行多重积分计算也非常复杂。现有的相关性可靠度计算理论均基于给出的Pf=1-R的上、下界限理念，以此确定结构体系的可靠度范围。一般而言，常用的两种方法为Conell一阶模型和O.Ditlevsen二阶模型。

(1)Conell一阶模型。该模型[16]假设各个失效模式正相关，对应的上下界限为：

maxPfi≤Pf≤∑Pfi

(18)

(2)O.Ditlevsen 二阶界限模型。该模型[17]基于概率理论推导出考虑两两之间相关性的串联系统可靠度的窄界限区间理论。设系统的第i个失效模式的失效概率为Pi，系统总体失效概率为Pf。通过考虑两两失效模式间的相关性，O.Ditlevsen提出以下形式的二阶可靠度界限理论：

(19)

式中：Pij为第i、j两个失效模式同时失效的概率。

max (PA,PB)≤Pf≤PA+PB,ρij>0

(20)

0≤Pij≤min (PA,PB),ρij<0

(22)

(23)

式中：Φ(*)表示标准正态分布函数；ρij为第i，j种模式之间的相关系数。

(24)

4.2 主次失效模式相关系数简化模型

总体来看，现有相关性可靠度计算方法大多采用了某种近似，基于优化模型的角度，本文在总结O.Ditlevsen理论计算的基础上，结合多种失效模式相关性的特点，提出一种新的多失效模式可靠度计算模型，根据突出主要矛盾、忽略次要矛盾的原则，只考虑主次失效模式间的相关性，提出模式相关可靠度计算模型。

设系统n种失效模式的可靠性系数分别为β1、β2、…、βn，且β1≤β2≤…≤βn，对应的可靠度为R1≤R2≤…≤Rn，则系统的多模式相关时对应的可靠度计算公式为：

(25)

R0.6=

(26)

Rs表示大坝整体失效对应的可靠概率；β1、β2为相应的可靠指标；ρ12为Z1、Z2两种失效模式之间的相关系数，可根据公式(24)进行计算。上式仅考虑主次失效模式间的相关性进行可靠度计算，较上述窄界限公式计算更为简洁。

该模型源自于机械零件的可靠度设计[18]，该模型基于O.Ditlevsen的二阶界限模型，仅考虑主次失效模式，经过大量的数值分析和数学推导而得。该模型假设系统组件可靠度是介于独立假设理论与图2中薄弱环节理论之间的一个连续过程，即当ρ12为0，主次失效模式之间无相关性时，式(25)变为RS=∏Ri(1≤i≤n)，符合独立假设理论；当ρ12为1，主次失效模式之间完全相关时，式(25)变为Rs=Rmin，符合薄弱环节理论，即系统失效模式完全相关时，系统可靠度取决于最薄弱环节。本文研究混凝土重力坝系统的时变可靠度，重力坝系统的可靠度同样符合独立假设理论和薄弱环节理论，主次失效模式相关简化模型对大坝系统的可靠度计算具有一定的适用性，下文将通过工程实例论证这一模型的适用性。此外，该模型较常规界限模型计算更为简便，能得出确定值而非模糊界限值。

5 实例分析

5.1 工程概况

水电工程中重力坝体系的失效函数与材料、荷载参数的关系十分复杂，且各变量之间多为非线性的隐式函数关系，得到的可靠指标不能反映大坝的整体可靠性。且多模式相关的大坝体系失效概率并不完全取决于某一重要失效模式，而通常是由两种或多种失效模式来控制。以国内某混凝土重力坝结构体系的服役寿命为研究对象，采用本文所提及的考虑主次失效模式相关系数模型进行可靠度计算，并与传统一阶、二阶模型对比分析。

某水电站电站枢纽由拦河坝、泄水建筑物、输水系统、地下厂房及地面开关站等建筑物组成。拦河坝采用碾压混凝土重力坝，坝工参数如下：最大坝高75 m，坝顶长206 m，坝顶宽8.0 m，据坝踵5.0 m处设置一帷幕。上游面直立，下游面高程626.639 m以上为直立面，高程626.639 m以下为斜坡，坡率为1∶0.75。该坝自竣工验收以来，监测系统完善，监测资料完整，均表明该坝体运行正常。然而大坝运行条件复杂，仍需对其运行状况及寿命进行整体分析，以保证坝体的安全运行。本文以拦河坝某最危险断面为研究对象，研究考虑多失效模式相关的重力坝服役寿命时变模型。最危险断面如图2所示。对应的随机变量特征如表1所示。

图2 最危险断面(单位:m)Fig.2 The most dangerous section

5.2 功能函数推导

本文基于可靠度理论研究重力坝服役寿命，首先解决重力坝主要失效模式的问题，根据前文，主要考虑3种失效模式：抗滑稳定、坝踵抗拉、坝址抗压；参照公式(1)～(5)，分别求解对应的功能函数分别为：

表1 随机变量统计特征Tab.1 Statistical characteristics of the random variable

Z1=∑Wfφ2+Tc′φ2-∑Fs

(27)

式中：∑W为坝体垂直方向所受荷载合力，向下为正；∑Fs为水平方向合力，向左为正。

(28)

Rt(0)为坝体材料抗拉强度，参照表1取值；φ2为对应的材料衰减函数，参照上文取值；∑M为作用在计算截面以上全部荷载对截面形心的力矩总和，kN·m，逆时针方向为正；T为计算界面沿上下游方向的宽度，本文中T=B2。

(29)

式中：Rα为坝体材料抗压强度。

5.3 可靠度计算结果及分析

将大坝最危险断面参数及大坝外界水位等参数代入上式Z1、Z2、Z3，可以计算各失效模式对应不同时间t(a)的可靠度。假定各参数值相互独立且服从正态分布，可以计算得出t=0 a时，E(Z1)=53.889，σ(Z1) =15.432，可靠指标β1=E(Z1)/σ(Z1)=3.49；同理可以计算得出β2=5.37；β3=3.74；结果表明，考虑3种不同的失效模式时，不同失效模式对应不同的可靠度与失效概率。要计算坝体整体可靠度与失效概率，本文在Ditlevsen二阶可靠度界限模型的基础上，只考虑主次失效模式的相关性，采用主次失效模式相关简化模型计算系统可靠度，将相关参数代入公式(25)、(26)即可求得对应t=0时刻的Rs，如表2所示。

建立新的整体可靠度计算模型进行计算，具体模型参见上文。计算3种失效模式的相关系数，代入上述模型可以计算得到结果如表2所示。

表2 初始时刻各失效模式对应可靠度及系统可靠度计算结果Tab.2 The initial time of each failure mode corresponds reliability and system reliability calculation results

根据本文所用的算法，t=0 a时，大坝整体可靠概率为99.97%，符合初始设计要求及实际情况。

为验证计算结果是否合理，作为对比，同时采用conell模型和Ditlevsen窄界限法两种模型进行计算。表3给出3种不同算法所得考虑不同失效模式的大坝整体可靠指标和可靠概率。

表3 不同方法时变可靠度计算结果比较 %Tab.3 Comparation between different variant reliability calculation methods

表3给出了t=0、5、10、15、20、25 a 6个时间点的计算结果，需要说明的是，笔者用3种方法分别计算了t=0～50 a系统的可靠度，结果对比见图3。

图3 不同方法对应失效概率Fig.3 The probabilities of failure modes corresponding to different methods

表3和图3均表明主次失效模式法算出的确定性结果在Ditlesven窄界限和conell法给出的上下界限之间，3种算法得出的结果基本接近，说明基于主次失效模式相关简化模型适用于该混凝土重力坝系统可靠度的计算。3种算法计算结果曲线均为上凹形曲线，表明失效概率增加速度随随时间逐渐增大，这与实际工程运行相符。另外，参考GB50199-2013[21]中对水工结构目标可靠指标的规定，对本大坝(Ⅱ级安全级别)而言，在缓慢破坏过程中，承受一类破坏的目标可靠指标为3.2，对应失效概率为0.068%。从图3可以看出，t=28 a时，用本文计算出的失效概率达到0.066%，t=29 a时，对应的Pf=0.069%。因此可以认为，该大坝在运行28 a后，若要保证其仍以大于3.2的可靠度运行，需要对其进行加固修缮。需要说明的是，此处对重力坝寿命预测为28 a，并不是说重力坝使用到28 a就不能继续使用，而是说该坝使用28 a之后，从本文考虑的3种失效模式的角度来说，需要对该坝进行检修及加固。

上述结果同时表明，Ditlevsen二阶模型较conell一阶模型更为精确。另一方面，主次相关模式失效法不同于Ditlevsen法的地方在于，Ditlevsen法需要计算不同失效模式两两之间的相关系数，共计C2n(n为失效模式个数，如本文考虑3种失效模式，需要计算C23=3个相关系数)。随着失效模式数目的增大，相关系数求解量也会随之增加。总的来说，从满足工程应用角度而言，主次失效模式法可以用于工程实践计算，同时计算较为简便。

6 结 语

(1)本文研究结构可靠度时考虑了结构荷载及抗力的时变效应，用威布尔函数模拟相关参量随时间的变化，使得模型较不考虑时间因素时更为优化。

(2)本文基于窄界限理论，在考虑失效模式间相关性的前提下为系统可靠度的计算提供一种新思路，提出可以用仅考虑主次失效模式相关性的主次失效模式相关系数简化模型计算重力坝结构系统可靠度，并通过算例证明该模型的适用性。新模型计算量较小，计算精度满足工程需要。

(3) 本文研究了混凝土重力坝结构多模式相关体系可靠度的时变规律，基于此研究大坝服役寿命随时变的变化规律，并提出基于时变可靠度的大坝使用寿命评估模型，为大坝安全管理提供新的思路。

□

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