基于SVM的大坝可靠度分析响应面方法

郑鹏翔，陈 敏(. 中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司，杭州 3004；. 河海大学水利水电学院，南京 0098)

0 引 言

结构可靠度计算可以用来评价结构的安全性和可靠性，结构的变量输入与响应量之间的联系，往往需要经过复杂数学计算，而大坝尤其是超静定结构高拱坝的极限状态功能函数往往是隐式的，难以通过数学计算得到。响应面方法RSM(Response Surface Method)[1]常被用来有效解决功能函数为隐式的结构可靠度计算中。用响应面进行可靠度分析时，最关键的问题就是响应面重构方法和重构函数的选择[2]。目前，最常用的重构函数为二次多项式，然而二次多项式不能逼近任意精度的响应面，用其计算结构可靠度的精度也是有限的，因此，寻找一种能逼近任意精度响应面的重构函数和重构方法具有重要意义。

近年来，常用的能够逼近任意精度非线性问题的方法有人工神经网络[3](Artificial Neural Network，ANN)和支持向量机[4](Support Vector Machine，SVM)方法。其中，ANN存在拓扑结构难以确定、容易陷入局部最优和过拟合等缺点，用其确定的响应面计算的结构可靠度在精度和稳定性上均存在一定的缺陷。SVM能够克服上述神经网络问题，并且能有效解决小样本、高维度的非线性问题。本文利用SVM来重构响应面函数方程，针对复杂大坝的输入变量和响应量难以计算的问题，采用有限元法，通过正交试验设计有限个样本点，将样本点的输入变量作为SVM的输入，有限元计算结果为SVM的输出，通过SVM对小样本的学习构建响应面重构函数，结合一次二阶矩法计算结构可靠度。

1 支持向量机

通过正交试验设计的样本点具有小样本的特点，而支持向量机对于小样本的非线性问题具有出色的拟合能力。支持向量机的核心是核函数，即内积函数，基本思想是通过核函数将原本在低维空间中线性不可分的样本映射到高维空间中，从而变得线性可分[5]。

假设给定训练样本集：(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)∈(Rn×R)，支持向量机的决策函数如下：

(1)

s.t.yi=ωTφ(xi)+b+ξi,i=1,2,…,l

(2)

式中：ω为权向量；ξ为松弛变量，ξ≥0；C为惩罚变量；l为样本数。

通过Lagrange变化可得：

∂L∂ω=0, ∂L∂b=0, ∂L∂ξ=0,∂L∂α=0

可得：

定义满足Mercer条件的核函数k(x,xi)，消去ξi和ω后，得到如下方程组：

(4)

式中：e=[1,1,…,1]T;I为单位矩阵；α=[α1,α2,…,αl]T；Qij=K(xi,xj)，i,j=1,2,…,l。

SVM的核心是核函数，核函数的选择和核参数的确定至关重要，本文采用具有较好统计性能的RBF核函数[6]：

K(xi,xj)=exp(-g‖x-xi‖2),g>0

(5)

式中：g为高斯核参数。

最后可得到模型如下：

(6)

惩罚因子C和核参数g的选取关系到SVM模型的精度，本文用改进的PSO算法[7]对惩罚因子和核参数g进行寻优。

2 基于SVM的大坝可靠度分析响应面方法

2.1 SVM偏导数推求

SVM的最终表达式如式(6)所示，其偏导数取决于核函数的类型。本文选取的核函数为RBF核函数，其构造的响应面方程对应的一阶偏导数如下：

(7)

2.2 基于SVM的响应面方法

传统的结构可靠度响应面方法通过循环重构展开点附近的局部响应面和搜索设计点进行迭代计算，本文利用SVM进行响应面的重构，运用验算点法(JC法)计算设计点和结构的可靠度，基本步骤如下：

(1)假定初始展开中心点X(1)(x(1)1,x(1)2,…,x(1)2)，通常取各变量的均值。

(2)通过正交试验原理设计有限个具有代表性的训练样本。各随机变量在ui±3σ内选择，ui为第i个随机变量的均值，σi为第i个随机变量的均方差。若各随机变量服从N(u,σ)的正态分布，其值在±3σ区间外的概率不大于0.13%[8]。

(3)将训练样本的输入变量代入有限元计算，可得到各样本对应的效应量。将样本输入变量作为SVM的输入，有限元计算结果作为SVM的输出，进行学习训练可得到SVM响应面方程式(6)。为了消除量纲的影响，对输入变量和效应量进行归一化处理：

X′=0.1+0.8(X-Xmin)/(Xmax-Xmin)

(8)

式中：Xmax、Xmin为每组样本数据的最大值与最小值。

(4)采用验算点计算SVM响应面方程式的结构可靠度β，偏导数由式(7)求得。

3 实例分析

为验证上述理论，本文以文献[9]中的实例进行该重力坝坝踵抗拉强度结构可靠度计算。该重力坝为1级水工建筑，设计年限为100年，大坝坝高99 m，坝顶宽7 m，挡水坝段的上游面垂直，下游面88 m坝高以上部分垂直，以下部分为1∶0.75的斜坡，坝基面水平。图1为该重力坝的有限元模型，坝基面向下岩体取1倍坝高，向上游距坝踵、向下游距坝址也取1倍坝高。假设基岩弹性模量无限大，其他基本随机变量统计参数见表1。

图1 某大坝有限元模型Fig.1 The finite element model of the dam

根据重力坝坝踵破坏的失效模式，可以建立极限状态方程如下：

Z=σ-g(H1,γc,α)=σ-[σ]

(9)

式中：[σ]为坝踵拉应力，该值由有限元计算得到。

根据正交试验设计随机变量为5水平的学习样本：[ui-3σi,ui-1.5σi,uii,ui+1.5σi,ui+3σi]，该例中，共有3个变量因子，因此可得到25组随机样本，对这25组随机样本进行有限元结构计算，得到相对应的坝踵拉应力值。

表1 随机变量及统计参数Tab.1 The random variables and statistical parameters

对25组SVM学习样本根据式(8)进行归一化处理，对归一化后的样本用SVM学习训练，其中核参数采用改进的PSO算法进行寻优，得到最终的模型如表2所示，SVM学习结果见表3，学习样本的均方误差FMSE用式(10)进行计算，复相关系数R用式(11)表示。

(11)

表2 支持向量机参数表Tab.2 The parameters of the support vector machine

表3 支持向量机预测结果Tab.3 The predicting results of the support vector machine

由表2和表3可以看出，SVM的预测值与有限元的计算值较接近，可以用SVM训练结果作为结构响应面的重构函数。

生成SVM结构响应面重构函数后，利用验算点法计算该大坝坝踵抗拉强度的可靠度，并与文献[9]中的计算结果进行比较，如表4。根据材料力学公式可求出该坝踵拉应力强度功能函数：

Z=σ+99.6γc-9.01αH1-1.55H1-1.84×10-3H31

(12)

根据式(12)用验算点计算得到的该坝踵可靠度为3.123。

表4 结构可靠度计算结果Tab.4 The predicting results of the support vector machine

由表4可以看出，SVM响应面法结合验证点法的结构可靠度计算结果与JC法更为接近，而用SVM-Monte-Carlo法计算的该重力坝坝踵失效概率为JC法的两倍多，显然SVM响应面法的计算结果较SVM-Monte-Carlo法的计算结果更为合理，这是因为大坝失事的概率很小，用Monte-Carlo法计算需要计算较多的次数，如果循环计算次数太少，则不能保证计算的结果可靠性。

4 结 语

本文利用支持向量机对小样本、非线性的数据具有较好拟合能力，通过有限元计算有限个样本的效应量，建立输入变量与效应量之间的联系，构造了基于SVM响应面函数表达式，然后利用验算点法求得结构的可靠度，基于上述算法的可靠度分析方法一来解决了对于复杂水工结构工程难以求出显示极限状态功能函数的问题，二来不需要进行大量的重复计算，大大降低了计算工作量，提高了计算精度。

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[1] Bucher C G, Bourgund U. A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems[J].Structural Safety,1990,7(1):57-65.

[2] 金伟良,唐纯喜,陈 进. 基于SVM的结构可靠度分析响应面方法[J]. 计算力学学报,2007,(6):713-718.

[3] 桂劲松,康海贵.结构可靠度分析的全局响应面法研究[J].建筑结构学报,2004,25(4):100-105.

[4] 金伟良,袁雪霞. 基于LS-SVM的结构可靠度响应面分析方法[J]. 浙江大学学报(工学版),2007,(1):44-47.

[5] 苏怀智，温志萍，吴中如，等．基于SVM理论的大坝安全预警模型研究[J]．应用基础与工程科学学报，2009，17(1)：40-48．

[6] Chapelle O,Vapnik V N, Bousquet O, et al. Choosing multiple parameters for support machines [J].Machine Learning,2002,46:131-159.

[7] 范振东,崔伟杰,郭芝韵,等. 基于改进的PSO-SVM法的大坝安全非线性预警模型研究[J]. 水电能源科学,2014,(11):72-75.

[8] 陈伟球,丁皓江. 横观各向同性三维热弹性力学通解及其势理论法[J]. 力学学报,2003,(5):578-583.

[9] 刘海泉,肖 峰,杨晓晓,等. 基于FEM-SVM的大坝可靠度分析方法[J]. 水电能源科学,2015,(10):43-45