关于Hermite矩阵的一些性质

李东方　刘会彩

摘 要：本文给定两个Hermite矩阵A、B 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB 的跡的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B 的一些特征值不等式。以及通过研究正定Hermite矩阵Schur 补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur 补与正定Hermite矩阵Schur 补的和的迹和特征值之间的不等式.

关键词：Hermite矩阵，特征值， 矩阵的迹，Schur补

众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。

1 预备知识

定义1 设矩阵 ，若 （ 是指 的共轭转置），则称A 为Hermite矩阵。

定义2 称为矩阵A 的迹。

定义3 如果非负矩阵A 的所有行和以及列和均为1，就称A 是双随机矩阵。

定义4 设 表示n ×n 阶矩阵. 是非奇异主子

阵， 我们称 是A 关于 的Schur 补，记为 .

引理1 矩阵 为Hermite矩阵，则A 的所有特征值都是实数。

引理2 矩阵 为Hermite矩阵，其特征值为 它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵 ，使得

引理3 矩阵 为双随机矩阵，当且仅当对某个 存在置换矩阵 和正纯量 ，使得 ，且 .

引理4 设 为一置换， 为按递增顺序排列的两个数列，则有： .

引理5 设 是正定矩阵，若 ，那么 .

引理6 若存在非奇异阵 使得 ，那么

证明 因为

所以

引理7 若A ≥0 ， B ≥0 ，那么A + B ≥0

引理8 若 是半正定Hermite矩阵， 是 非奇异主子阵，那么 半正定.

证明 设 ，取 ，有

因A 半正定， 由引理6 ， 知 半正定.

2 主要结果

定理1 设A， B 均为n ×n Hermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为： ，则有

证明 A 为正定Herm ite矩阵时， 由于A， B 均为n ×n He rmite矩阵， 则分别存在酉矩阵W， V 使得：

则：

记 ，易知U仍为酉矩阵，故有：

由 知 是双随机矩阵，记Ω为双随

机矩阵的集合，考虑如下极大值问题：

由于Ω为一有界闭凸集， 上面问题的目标函数是关于 的线性函数， 故它在Ω的某一端点上取得极大值. 而由引理3知双随机矩阵集合的端点为置换矩阵， 故存在置换矩阵 使

其中 为一置换矩阵 对应的置换，于是由引理4，可得：

（2）

如果A 是非正定的，则存在充分大的实数m >0，使得A +m I为正定阵（ I为n ×n阶单位阵） ，则A+m I的特征值为 ， 由（2）有：

即：

又因为： 所以：

故结论成立。

由定理1易知以下结论成立。

推论1 设A为n ×n正定He rmite矩阵， B 为n×nHe rmite矩阵，矩阵A， B ， AB 的特征值分别为： . 则有： .

推论2 设 ， 为n ×n正定He rmite矩阵，矩阵A， B ， AB 的特征值分别为： .则有 .

定理2 设A， B ， C均为n ×nHermite称阵， 它们的特征值依次从大到小排列为： ，如果 ，则 的特征值之间有如下关系成立：

证明 由于 均为n ×nHermite矩阵，则

推论3 设 均为n ×n正定Hermite矩阵， 它们的特征值依次从大到小排列为： 则： .

定理3 设 ， 是正定Hermite矩

阵，且 分别是 的非奇异主子阵，那么

（1）

证明

于是

注意到 均为n - k 阶正定Hermite矩阵，由引理5容易得到：

故结论成立。

参考文献

[1] 李 乔. 矩阵论八讲[M].上海：上海科学技术出版社，1988

[2] Roger A.Horn ，Charles R.Johnson.矩阵分析[M].北京：机械工业出版社.2005，4.

[3] Li Dong-fang. On the positive definiteness of the left semi-tensor product of matrices[J]. Proceedings of the Eighth International Conference on Matrix Theory and its Applications in China， 2008，（1）：119-122.

[4] 程代展，齐洪胜. 矩阵的半张量积理论与应用（第二版）[M]. 北京：科学出版社，2011.