概念定义的“淡化”及其正确性——对初中数学教材中几个概念定义的商榷

云南省会泽县待补中学　浦　帅　王利娟



概念定义的“淡化”及其正确性
——对初中数学教材中几个概念定义的商榷

云南省会泽县待补中学浦帅王利娟

摘 要：数学概念定义不论怎样“淡化”都必须全面、准确地反映出概念的内涵和外延。有几个问题值得反思：怎样给数学概念下定义？数学概念定义的“淡化”原则是什么？如何处理概念定义的“淡化”与“正确性”两者间的关系。

关键词：概念定义 概念本质 “淡化” 可接受性 等价性

一、引言

数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践从数学所研究对象的许多属性中抽出其本质属性概括而成的，因此对概念的叙述都是很精炼的。数学概念是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法规、公式的基础，是形成数学思想方法的出发点。因此，数学概念是数学学习的基础，是数学教学的重要组成部分。数学概念的表达是否本质化，是否正确，将直接影响数学教学活动的开展情况。数学概念作为数学学科的“真理”，在数学教学中至关重要。

二、如何“淡化”数学概念

现行九年制义务教育初中数学教材对大多数概念都以定义的形式给出，对概念定义的描述进行“淡化”处理。现阶段，所有概念的定义都十分严格地给出是不适宜的。对于初中生来说，他们对这些概念的本质特征有初步认识即可，进一步理解和运用待后续课程完成。这就是说“淡化”是方法，而不是目的。

基于此，现行九年制初中数学教材适当降低某些概念定义的理论高度，在“淡化”概念的“严格”表述中做了一些有益尝试，给予概念直观、形象而又通俗的解释与说明。概念的“淡化”处理对帮助学生理解概念十分重要。但是，不论怎样“淡化”决不能由此影响了概念的正确性，解释与说明必须紧扣概念本质，脱离了这一点，就与我们本来的目的背道而驰，处理不好，定义本身就是一个模糊以至错误的概念描述。

三、数学概念的应用

概念是反映事物本质属性的思维形式，而概念的定义就是对事物的本质属性或概念的内涵与外延的确切而简要说明。但要下好一个定义，除了对需要定义的概念有一个明确认识，还必须符合定义规则：定义必须是相称的。也就是说定义项和被定义项必须是指同一概念，其内涵和外延必须吻合，概念定义的“题设”与“结论”构成的必须是互逆的两个真命题。

四、数学概念“淡化”后存在的问题

现行九年制八年级数学（上）对“二元一次方程组”的定义描述是这样的：由两个二元一次方程组组成的方程组叫作二元一次方程组。由“二元一次方程”定义“二元一次方程组”符合学生的认知规律，加强了知识的联系，降低了学生学习难度，似乎达到了概念定义的“淡化”目的，但这个定义不确切，背离了概念定义的“淡化”原则。

这个定义规定：二元一次方程组的每一个方程必须是二元一次方程，同时这里的“二元”仅是指每个方程的“二元”，而不是整个方程组的“二元”。这样就错误地把类似于 “6x-5y=1”这样的方程组排除于“二元一次方程组”之外，而把形如 “x +y=7”这样方程组归于“二元一次方程组”的范畴之内，这显然是不正确的。

由两个“二元一次方程”组成的方程组与“二元一次方程组”并不是同一概念。由两个“二元一次方程”组成的方程组不一定是“二元一次方程组”，而“二元一次方程组”不都是由两个“二元一次方程”组成。

五、数学定律“淡化”后存在的问题

数学学习过程中，学生通过数学概念的掌握数学知识。类似上面对概念定义的错误描述造成一些不良后果：学生学习片面甚至错误的概念定义后常常犯一些逻辑上的错误，如混淆命题的题设和结论，对题设与结论认识不足，发生像“ x+y=7”是“二元一次方程组”，而“ 6x-5y=1”不是二元一次方程组这样的错误。这是一个不容忽视的问题。

概念定义的叙述必须慎重考虑。教师有必要从概念的本质出发，结合学生的思维特点合理使用“淡化”手段，权衡“淡化”原则，以保证概念的正确性。这将有助于学生正确掌握数学知识，有助于教师顺利完成教学任务，对后续课的学习也有积极意义。

六、数学概念“淡化”后因应注意的问题

1.“淡化”后的概念定义要明确。例如，“大于零的数叫作正数”“淡化”为“像5、1.5、10、0.1等大于零的数叫作正数”。后者保证了“正数”的本质属性，使用了“淡化”手段使概念定义直观化，降低了学生的理解难度。

2.定义项与被定义项必须指同一概念，是等价的。例如，把无理数的定义“淡化”为“无限小数”或“不尽方根”都是不相称的。前者犯了定义过宽的逻辑错误，定义项（无限小数）的外延大于被定义项（无理数）的外延，因为无限小数还包括无限循环小数，而无限循环小数都是有理数。后者犯了定义过窄的逻辑错误，定义项（不尽方根）的外延小于被定义项（无理数）的外延，因为还存在无限多个无理数，它们都不能表示成有理数的方根的形式，如π，e，lg2等。

3.“淡化”后的概念定义应清楚、确切，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其他含糊、模棱两可的说法替代定义。例如，把“正方形”定义为“正方形是一种有规则的四边形”，这里“有规则”是一个不可琢磨的含糊概念，学生看了这个定义仍然难以明确“正方形”是什么。

总之，数学概念定义不论怎样“淡化”都必须全面，准确地反映概念的内涵和外延，反映概念的本质，绝不允许出现由于扩大（或缩小）内涵和缩小（或扩大）外延而造成概念定义的偏差或错误。基础教育阶段对概念下定义应坚持概念定义“正确性”的前提下兼顾使用“淡化”原则、直观性原则、形象性原则，不要舍本逐末，主次颠倒。

文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2016-05-0153