对《常微分方程》课程教学方法的研究

王秋宝　张丽丽　田瑞兰　郭秀英

摘 要：《常微分方程》课程是高等院校数学类专业的本科生以及部分理工类专业的研究生一门必修的重要基础课程，也是数学与工程实践联系最紧密的学科之一。文章从作者多年来的教学实践出发，从教与学两方面分别阐述了如何教好和学好《常微分方程》，以此提高学生的综合素质。

关键词：常微分方程；高等院校；工程实践

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）12-0350-116

《常微分方程》一直是各高等院校的数学类专业必修的基础课程，其是其他很多专业课，比如，《数值分析》《偏微分方程》《动力系统》等课程的工具和基础。《常微分方程》的课堂教学效果如何，直接关系到其他相关课程的学习甚至是学生的毕业后工作上的具体问题的解决，另一方面还影响着学习者的逻辑判断推理以及数学思维的培养。作为教学者都知道，教学没有固定的模式，要做到因材施教，相同的知识内容由不同的教师处理，那就会产生各自的讲解方法，下面我们从以下四个方面来介绍作为教师应该如何处理教与学的关系，使学生更好地掌握所学知识并付诸实践。

一、首次课很重要

部分教师对于课程的第一次课有一个误解：认为只需要简单介绍下课程章节、作业要求、课堂纪律、考核标准等。作为合格的大学教师，如若我们的绪论课仅仅就是上面所涉及的部分内容不免就让人觉得落伍，而且乏味。对学习者而言，如果教师如此讲课，则只会对所学课程只能是一知半解，更做不到有什么深刻认识！

万事开头难，第一次教学成功与否关系着整个教学是否会顺利进行，我认为不管什么课程首先要使得学习者了解它的起源发展以及所关注的主要对象。讲述者要做到这一点必须对这门课程起源发展以及前沿要有准确地把握和透彻的认知。比如，我在第一次课中会这样介绍。

1.常微分方程的起源和发展

牛顿和莱布尼兹创立了微积分，关于其起源恩格斯在《自然辩证法》中的表述十分贴切：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻变成了必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由它们发明的。在此基础上产生了微分方程并在当时有很多数学家对此有着浓厚的兴趣。

接下来，我就会介绍微分方程的发展历史，并把它大致分成了四个阶段：经典阶段；解的存在唯一性研究；解的定性理论和稳定性理论阶段；前沿发展阶段。在每个阶段中都拿出一两个经典的历史上的例子来说明问题。

2.常微分方程的主要问题

常微分这门学科是由实际问题出发，又回到实际问题中去的学问，每一个微分方程的建立都是由实际问题而来，而建立的方程最后都是去解决实际问题，并在解决的过程中不断地完善改进。

在此认识的基础上，我就会在课堂上充分展现这门课程的魅力：以它的发展过程为脉络，每个关键的转折点我都会添加有趣的历史上的真实案例来讲解。一方面可以很好地展现它的美，另外一方面可以很好地说明此课程与工程实践的紧密联系，激发学生的学习兴趣，时刻提醒学生学习是为了解决问题。

二、重视基本概念

《常微分方程》大多数学校在大学二年级上学期开设，学生已经经过了一年的大学生活的洗礼，习惯了大学课程的特点，但是在一年级大多数会开设《数学分析》《高等代数》《解析几何》这三门课程，相对来说难度较大，一定程度上打击了学生的积极性。为了调动学习热情，要强调我们课程的特点与所学过的那三门不同，侧重的是基本概念与基础知识。

其实，学习者认真回忆一下自己从懵懂开始学习数学直至大学整个求学之路不正是沿着人类数学知识的发展路线去学习的，越到后来“高级”的数学越是“简单”。那么，以前所掌握的“宝贵”的解题技巧和公式就毫无价值而言，此类东西也不是数学的本质，学习者学习东西就要学习本质的，作为教师教授也要教授本质的内容。相比较而言，重要的是各种概念和各种方法的思想，而不是各种诸如求解方程的巧妙的方法，不能让学生深陷于此。

三、与工程实践紧密联系

《常微分方程》是一门相对“精彩”的课程，如果只是停留在本本主义，那就太浪费这门课程啦。尤其是石家庄铁道大学是一所工科院校，铁路工程师的摇篮，校内有很多实践基地，而且数学系也有自己的实践创业基地，这些都需要教师在平时教学过程中理论联系实际，把自己的教学内容和工程实践联系起来。例如，讲授第4章的“质点振动”这一节时，可以通过高速列车的悬架系统出发，引入振动方程，而且可以带学生具体实地参观学校的相关实践项目基地，使得学生能够更加深刻地了解质点振动方程在力学等方面强大的应用。对于带有阻尼的强迫振动更是可以举出生活中的例子很好地去解释共振现象。要做到这点，教师必须平时进行大量的积累，在备课时要多参考相关的资料尤其是发展前沿，虽然会耗费时间，但是我认为是物超所值。

四、及时总结

对于课程进行到新的部分之前，要及时总结。每次上课前要总结前一次课，每章结束要总结这一章。但是不能误解为就是把相关的知识点和关键题型再重述一遍，或者在深入一点就是弄个所谓知识脉络图。除了上述这些是必要的之外，最重要的是把此部分的重点难点以及涉及的内容与其他部分的联系讲解明白，所谓的一心两点，即抓住一个中心，知识的分界点以及联系点。

总结课最难做的就是期末的最后一节复习课。很多大学课程都存在一个共性问题，即期末复习课变成了考前的辅导课，教师在课堂上勾画一些考试重点，而学生对此也是热衷得很。但是，我认为此种做法很不负责任，也是对自己的教学没有信心的表现。期末复习，就是要从宏观整体上把这门课程做一个概括总结，正好和绪论课做一个首尾呼应。

五、结语

《常微分方程》在数学类专业的本科生课程中占有非常重要的地位，如何教好学好以及掌握这门课程就显得尤为重要。教学质量的好坏衡量标准并不是考试成绩的高低，也不是会做多少道题目，而是对相关的思想和方法的理解运用，能够更好地运用所学知识去解决实际问题，能够养成严谨的逻辑思维推理习惯，这些都是十分重要的。故而，作为课程的教授者应该在这方面努力，不断地改进自己的教学方法和更新教学内容，为国家和社会培养出高素质的人才而尽一份微薄之力！

参考文献：

[1] 王高雄等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 于光远（译）.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1984.

[ 责任编辑 田彩霞 ]