磁场区域最小面积的五种求法

河南 王春旺

磁场区域最小面积的五种求法

河南 王春旺

在经典的归纳和延伸中，演绎方法与策略。

带电粒子在匀强磁场中的运动，是高考考查的重点，有关磁场区域的最小面积问题是常考题型。通过对近年高考及各地模拟题的研究，可归纳出五种磁场区域最小面积的求法。

一、粒子速度确定的圆形磁场区域

速度确定的带电粒子在匀强磁场中运动，其轨迹半径确定。要求出圆形磁场区域的最小面积，一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点，连接这两点即得到磁场区域的直径，根据图中几何关系得到磁场区域直径的数值，然后利用面积公式得出圆形磁场区域的最小面积。

【例1】如图1所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。一粒子源固定在x轴上坐标为（-L，0）的A点.粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上坐标为（0，2L）的C点，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°角的射线ON（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）。求：

图1

（1）匀强电场的电场强度E的大小；

（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；

（3）圆形磁场的最小面积Smin。

【解析】（1）从A到C的过程中，电子做类平抛运动，y方向匀速运动，x方向匀加速运动，则有

（2）设电子到达C点的速度大小为vC，方向与y轴正方向的夹角为θ。

由动能定理，有

（3）画出带电粒子的运动轨迹如图2所示。电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有

图2

【点评】本题属于已知初、末速度的方向（所在直线）和初速度大小的问题，这类问题的特点是：轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。通过带电粒子运动轨迹半径，利用几何关系，寻找匀强磁场区域的最小半径，进而求得题设的问题。

二、粒子速度不确定的圆形磁场区域

速度不确定的带电粒子在匀强磁场中运动，其轨迹半径不确定。可根据题述带电粒子在磁场区域的入射线和出射线，画出可能的运动轨迹。然后利用题述条件，确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点，连接这两点即得到磁场区域的直径，然后利用面积公式得出圆形磁场区域的最小面积。

【例2】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、带电量为＋q的带电粒子，由原点O开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°（如图3所示），已知P到O的距离为L，不计重力的影响。

图3

（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；

由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大。在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆（如图5），其中以C点为圆心的轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大。由图5可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。

由于D点、E点必须在磁场内，即线段DE在磁场内，故可知磁场面积最小时必定是以DE为直径的圆（如图7中③所示）。

【点评】本题属于已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）的问题，这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上（又称缩放滚圆模型）。利用几何关系，寻找半径的大小，进而求得题设的问题。对于如何寻找最小磁场面积问题，只需寻找到粒子在磁场中的临界运动轨迹即可。

三、半圆形磁场区域

要求出半圆形磁场区域的最小面积，一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点，画出运动轨迹。连接带电粒子在磁场区域的入射点和出射点，该线段的平分线与轨迹的交点到入射点和出射点连线的距离即为半圆形磁场区域半径，然后利用面积公式得出半圆形磁场区域的最小面积。

图8

（1）电场强度大小E；

（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积；

（3）粒子从P点运动到O点的总时间。

【解析】（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小为v，由粒子在匀强电场中做类平抛运动得v＝2v0

（2）设粒子从M点进入、N点离开半圆形匀强磁场区域，粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r，圆心为O1，轨迹如图9所示。

图9

若半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为O2，可得半径R＝1.5r＝3d

（3）设粒子在匀强电场中运动时间为t1，粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为vy，有

设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t2，有

粒子在QM、NO间做匀速直线运动时间分别为t3、t4，由几何关系得

【点评】本题属于已知（或容易求出）速度大小和初、末速度的方向（所在直线）的问题，解答这类问题一般方法是：根据题述，画出粒子运动轨迹，利用几何关系，寻找轨迹半径的大小，进而求得半圆形磁场的最小面积。

四、矩形磁场区域

要求出矩形磁场区域的最小面积，必须求出矩形的最小长和宽。一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点，画出运动轨迹。根据运动轨迹确定矩形磁场区域的最小长和宽，然后利用面积公式得出矩形磁场区域的最小面积。

【例4】如图10，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动。当它经过图中虚线上的点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点。已知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。试求：

图10

（1）电场强度的大小；

（2）N点的坐标；

（3）矩形磁场的最小面积。

【解析】粒子的运动轨迹如图11所示。

图11

（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有

（2）设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，则

解得粒子做圆周运动的半径为

（3）当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为

【点评】本题属于已知（或容易求出）速度大小和初、末速度的方向（所在直线）的问题，解答这类问题一般方法是：根据题述，画出粒子运动轨迹，利用几何关系，寻找轨迹半径的大小，进而求得矩形磁场的最小面积。

五、两圆弧包围的磁场区域

要求出两圆弧包围的磁场区域的最小面积，一般方法是先根据带电粒子在磁场中运动轨迹确定两磁场边界圆弧，然后利用几何关系和相关知识得出两圆弧包围的磁场区域的最小面积。

【例5】如图12，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

图12

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

【解析】（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运动轨迹。电子所受到的磁场的作用力f＝ev0B

（2）由（1）中得出的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于BC入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了确定该磁场区域的另一边界，我们来探讨射入A点的电子的速度方向与BA的延长线夹角为θ（不妨设0≤θ≤π/2）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图13所示。

图13

这意味着，在0≤θ≤π/2范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域分别由B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成，其面积为。

【点评】本题属于已知初速度的大小和方向，已知带电粒子射出磁场区域的位置，但是末速度方向未知的问题。根据题中分析可知，要使速度相等的、比荷相等的带电粒子从磁场区域同一点出射，则带电粒子射入磁场区域的边界为一半径等于带电粒子在磁场中运动的轨迹半径的四分之一圆弧。反过来，匀强磁场的一侧边界为圆弧时，若速度相等的、比荷相等的带电粒子从同一点以不同的方向射入匀强磁场，在带电粒子从磁场中射出时速度方向平行。

（作者单位：河南省洛阳市第二中学）