电学计算命题分析及备考策略

新疆 王树明

电学计算命题分析及备考策略

新疆 王树明

追踪热点，攻克难点，构建二轮复习知识与能力网络体系。

从近年新课标命题情况看，压轴题依然以电学计算为主，所以二轮复习要熟知各种电学计算的题型与方法。本文以带电粒子在电磁场中的运动为题，精选部分例题讲解，帮助读者拓展、提升。

一、带电粒子在有界磁场中的运动

【例1】（2015·江苏连徐宿三调）如图1所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场。大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度（速度大小未确定）沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：

图1

（1）磁场的磁感应强度大小；

（2）要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度；

（3）AC、AD边上可能有粒子射出的范围。

当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系知，圆心角为60°

（2）当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度为最大值，如图2所示，

图2

（3）由（2）知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C点最远，故有粒子射出的范围为CE段，

图3

【总结】带电粒子在有界磁场中的运动，大多涉及临界态，所以确定运动轨迹极为重要。具体方法有：

（1）对称法：带电粒子如果从一直线边界进入，又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

（2）动态圆法：在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。

（3）放缩法：带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，探索出临界点的轨迹，使问题得解。

（4）临界法：临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。

二、带电粒子在组合场中的运动

图4

（1）求圆形区域内磁场磁感应强度B1的大小。

（2）若要求从所有不同位置出发的电子都不能打在感光板MN上，MN与ab板间的最小距离h1是多大？

（3）若要求从所有不同位置出发的电子都能打在感光板MN上，MN与ab板间的最大距离h2是多大？当MN与ab板间的距离最大时，电子从O点到MN板，运动时间最长是多少？

【解析】（1）所有电子射入圆形区域后做圆周运动，轨道半径大小相等，设为r。当电子从位置y＝R处射入的电子经过O点进入x轴下方，则：

（2）设电子经电场加速后到达ab时速度大小为v，电子在ab与MN间磁场做匀速圆周运动轨道半径为r，沿x轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成θ角，则：

如果电子在O点以速度v0沿x轴负方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，不能打在感光板上，则所有电子都不能打在感光板上。恰好不能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O2，如图5所示，则感光板与ab间的最小距离h1＝r1＋r2cosθ

解得v＝2v0，r1＝2d，θ＝60°，h1＝3d。

图5

（3）如果电子在O点沿x轴正方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，能打在感光板上，则所有电子都能打在感光板上。恰好能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O3，如图6所示，感光板与ab间的最大距离：

图6

h2＝r1-r1cosθ解得h2＝d。

当感光板与ab间的距离最大为h2＝d时，所有从O点到MN板的电子中，沿x轴正方向射入电场的电子，运动时间最长。设该电子在匀强电场中运动的加速度为a，运动时间为t1，在磁场B2中运动周期为T，时间为t2，则：

【总结】（1）组合场具有阶段性，解答问题时要根据粒子所处的不同场中受力情况，运动情况的不同，分别选择不同的运动规律解题。要注意在两种区域的交界处的边界问题的处理与运动的连接问题，粒子运动到各场边界处粒子运动的速度大小和方向都要准确无误。

（2）带电粒子在电场中运动一般分为两种情况。

②偏转：根据类平抛运动的解题方法。

（3）带电粒子在磁场中的运动要根据磁场的边界条件，几何关系和圆周运动知识解答。

三、带电粒子在复合场中的运动

【例3】（2015·泰州二模）如图7（甲）所示，在xOy竖直平面内存在竖直方向的匀强电场，在第一象限内有一与x轴相切于点（2R，0）、半径为R的圆形区域，该区域内存在垂直于xOy面的匀强磁场，电场与磁场随时间变化如图7乙、丙所示，设电场强度竖直向下为正方向，磁场垂直纸面向里为正方向，电场、磁场同步周期性变化（每个周期内正反向时间相同）。一带正电的小球A沿y轴方向下落，t＝0时刻A落至点（0，3R），此时，另一带负电的小球B从最高点（2R，2R）处开始在磁场内紧靠磁场边界做匀速圆周运动；当A球再下落R时，B球旋转半圈到达点（2R，0）；当A球到达原点O时，B球又旋转半圈回到最高点；然后A球开始匀速运动。两球的质量均为m，电量大小均为q。（不计空气阻力及两小球之间的作用力，重力加速度为g）求：

（1）匀强电场的场强E的大小；

（2）小球B做匀速圆周运动的周期T及匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（3）电场、磁场变化第一个周期末AB两球间的距离。

图7

在原点下的位移为yA＝vAT

2T末，小球A的坐标为（0，-5R）

对小球B：球B的线速度

水平位移为xb＝vBT＝2πR

2T末，小球B的坐标为

则2T末，A、B两球的距离为

【总结】（1）解决带电粒子在复合场中运动的基本思路：

（2）四种常见运动形式

运动形式受力实质规律选用匀速直线运动F合＝0平衡条件匀变速运动直线曲线F合＝恒量F合与v共线牛顿定律，也可用动能定理、动量定理F合与v不共线可分解为直线运动处理，也可直接用功能关系匀速圆周运动F合＝FN大小一定，方向总指向圆心，切向合力为0，法向合力为FN牛顿运动定律，动能不变一般圆周运动F合一般不是向心力，但法向合力为FN牛顿定律分析某点受力，动能定理分析过程中功、能转化关系一般曲线运动F合≠0，指向曲线凹侧动能定理、能的转化守恒

（3）由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，往往出现临界问题，此时应以题目中出现的“恰恰”“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时可画出几个不同情况下的轨迹，再根据临界条件列出辅助方程，最后与其他方程联立求解。

（4）注意：①微观粒子（如电子、质子、离子）一般都不计重力；②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定。

四、带电粒子在交变场中的运动

【例4】如图8甲所示，真空中相距d＝5cm的两块平行金属板A、B与电源连接（图中未画出），其中B板接地（电势为零），A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m＝2.0×10-27kg，电荷量q＝＋1.6×10-19C的带电粒子从紧临B板处释放，不计重力。求：

图8

（1）在t＝0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小；

（2）若A板电势变化周期T＝1.0×10-5s，在t＝0时，将带电粒子从紧临B板处无初速释放，粒子到达A板时速度的大小；

【审题】第（1）小题需要求“粒子”的加速度，可视为后续步骤的“引导”或“铺垫”。而第（2）小题欲求“粒子到达A板时速度的大小”，则必须通过分析、明确加速度方向改变的特点，尝试求得0～T/2内“粒子”发生的位移恰好等于板间距离，到达A板的时间随之确定。转而，找到“突破口”，迅速切入，则问题迎刃而解。而解第（3）小题的关键，在于明确运动“对称性”，弄清“粒子不能到达A板”的临界条件，即在到内粒子的最大位移等于板间距离。

【答案】（1）4.0×109m/s2（2）2×104m/s （3）大于

【总结】（1）注重全面分析（分析受力特点和运动规律），抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。

（2）分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。

（3）此类题型一般有三种情况：一是粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解），二是粒子做往返运动（一般分段研究），三是粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。

（4）本题采用速度图象更加可以看清粒子运动的过程，所以读者可自行画出对应的速度图象。

（作者单位：新疆石河子第二中学）