该命题中的“任意”是全称量词吗？



该命题中的“任意”是全称量词吗？

◇陕西高非

在某版本高中数学《选修2-1》第1章“全称量词与存在量词”中,有一个“线面垂直定义”的例题:如果直线l垂直于平面α内的任意一条直线,那么直线l垂直于平面α.教材在“任意一条”4字下面加了着重号,认为其中的“任意一条”是全称量词.

对此,笔者请教了不少同行,概括起来有如下观点.

1) 认为“任意一条”是全称量词,因为全称量词就是“在指定范围内(平面α内),表示整体或全部(任意一条)”的含义,况且教材都用了多年,应该无误.

2) 认为判断“任意一条”是否为全称量词,可以用命题的否定来检验.该命题的否定是“如果直线l仅垂直于平面α内的一条(些)直线,那么直线l不垂直于平面α”是假命题,应是全称量词.

3) 该命题的否定应该是“平面α内存在一条(些)直线和直线l不垂直,则直线l垂直于平面α”.因为该命题的“条件”部分本身就是命题,故“提前”否定,结论不变,结果也是假命题,故为全称量词.

笔者认为以上观点均有纰漏,我们知道,命题的否定是从日常语言中的“不是”“问题的反面”“全盘否定”等抽象而来,故命题p和非p的真假相反,但并不是真假相反就是命题的否定,还应满足非p对应的集合是p对应集合的补集.导致观点不一甚至错误的根本原因就是认为“任意一条”为全称量词.事实上,这里的“任意一条”并非全称量词,我们假设是全称量词,那么按照通常的语言习惯该命题可表述为:“如果平面α内的任意一条直线都与直线l垂直,那么平面α与直线l垂直.”其否定就是:“如果平面α内存在一条(些)直线与直线l垂直,且这个平面α与直线l不垂直．”这完全符合全称命题否定的“规则”,即全称命题p:对任意x∈M,使p(x)成立;它的否定非p:存在x∈M,使p(x)不成立.可是这仍然是真命题,与“命题及其否定真假相反”矛盾.

因此这里的“任意一条”不是全称量词,正如线面垂直的判断定理“如果一条直线和平面内的2条相交的直线都垂直,那么该直线与此平面垂直”中的“2条相交”是全称量词还是存在量词?显然都不是.它是对平面内直线的一般修饰量词．那么该命题到底是什么样的命题?是全称命题,但命题中的全称量词是被省略了.全称量词“任意”是置于“直线l”之前的,其完整的表述形式是:“对于任意直线l,如果垂直于平面α内的任意一条直线,那么直线l垂直于平面α.”如此表述虽然在一个命题中出现了2个“任意”的情况,但由于第2个“任意”不作为全称量词,所以符合《标准》中只要求理解和掌握含有一个量词的命题.也可以换一种表述:“凡是与平面α内任意一条直线都垂直的直线l都和平面α垂直.”其否定是:“存在一条直线l和平面α内的任意一条直线垂直,且直线l与平面α不垂直.”当然该命题也是“若p,则q”形式的假言命题,其否定是“p且非q”,即“存在直线l垂直于平面α内的任意一条直线,且直线l不垂直于平面α”,与笔者的观点完全吻合.

事实上,高中数学中还有许多定理或定义都是具有类似“结构”的全称命题.如线面平行的判定定理、函数单调性的定义、奇偶函数的定义等,它们的共同特点都是省去了全称量词,但含在命题中的“任意”“任何”“无数”却不是全称量词.

例写出下列命题的否定并判断其真假.

(1) 如果直线l垂直于平面α内的无数条直线,那么直线l垂直于平面α.

(2) 对任意x∈D,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)在D上为奇函数.

解(1) 将命题改写为:对于任意直线l,如果垂直于平面α内的无数条直线,那么直线l垂直于平面α.其否定是:存在直线l垂直于平面α内无数条直线,且直线l与平面α不垂直.原命题为假,其否定为真.

综上所述,笔者以为教材设置此例似有不妥,宜予删改.“常用逻辑用语”在高中数学中是作为工具来学习的,这也是新课标的基本定位,高中学习常用逻辑用语的主要目的就是为了更好地理解数学概念、清晰地表达数学内容,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性,因此在教学中一定要把控好概念的“度”,尤其是不要涉及超《标准》甚至有争议的逻辑问题.

(作者单位：陕西省榆林中学)

(2) 将命题改写为：“凡是满足对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)的函数都是奇函数.”其否定是：“存在函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)且f(x)不是奇函数.”或“并非满足对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)的函数都是奇函数.”原命题为真,其否定为假.