关于线性代数课程教学的一些思考

秦勇

（常州工学院理学院，江苏常州213002）



关于线性代数课程教学的一些思考

秦勇

（常州工学院理学院，江苏常州213002）

摘要：结合线性代数课堂教学，从优化教学内容、加强方法引导、抓好基础知识、渗透思想方法、采用多媒体辅助教学五个方面阐述了在线性代数课程教学中的一些思考。

关键词：线性代数；课程教学；学习兴趣；基本方法

线性代数是高等院校工科专业大学数学中的一门重要基础课。线性问题在科学技术的各个领域中大量存在，在一定条件下某些非线性问题可以转化为线性问题，尤其是当今计算机的日益普及，使线性代数的地位和作用得到了较大地提高，工程技术人员在实践中又经常会遇到解线性方程组，求解矩阵的特征值和特征向量等问题，因此这就要求工科专业的大学生具备线性代数的基本理论知识，并能熟练地应用它。另一方面线性代数的内容具有较高的抽象性，概念特别多，对一般工科院校而言教学时数又较少，这些都给学生的学习，教师的教学增添了难度，最终导致线性代数的课程教学不如人意。针对上述情况，本人就工科院校线性代数的课程教学谈谈个人的一些思考。

1 根据教学时数，优化教学内容

目前工科院校线性代数的教学时数普遍较少，一般以32课时最为常见。由于受到学时的限制，在线性代数课程教学中不可能深入详细地讲解全部传统内容［1］，必须突出重点，合理选择教学内容。首先关于行列式部分的内容，由于当今在线性代数应用中已渐渐被淡化，这是因为矩阵理论比较成熟，它已可取代行列式的大多数功能，并且矩阵与计算机相结合又可省去许多复杂的和机械的运算，因此在传统行列式内容中可选取两个方面的内容：1）围绕行列式定义的有关内容（对排列的有关理论只要结论，理论证明可略去）；2）围绕利用行列式的性质对行列式用常规方法计算的有关内容（对于非常规行列式的计算完全可略去）。其次关于矩阵部分的内容，由于矩阵是线性代数的工具，这部分内容不能省，但对分块矩阵，只要介绍其运算法则，使其能为后面简化表示矩阵服务即可，不需要对分块矩阵详细举例展开讨论。另外关于向量空间部分的内容，只要介绍与基和维数有关的内容，使其能为后面的施密特（Schimidt）正交化服务即可，其它内容都可略去。还有关于二次型的内容，由于用矩阵已经可以化二次型为标准形了，因而用配方法化二次型为标准形的方法就不必在课上介绍了。最后在定理和性质的处理上要注意较难的证明可略去（但要正确理解其条件和结论的含义，重点放在应用上），一般的证明根据实际教学情况有的可证明，有的可指导学生让学生课后去学习，较易的证明可给出证明过程。

综上所述，所取舍的内容对线性代数课程教学的体系并没有影响，突出了“应用为目的，够用为尺度”的原则，从而很好地缓解了线性代数教学时数偏紧的问题。

2 加强方法引导，激发学习兴趣

教学是由老师的教与学生的学两方面构成的，只有提高学生学习的积极性，线性代数的教学质量才能有较好的保障。为提高学生的学习兴趣，在教学中，首先要向学生介绍线性代数的主要内容和它的作用，让学生了解线性代数的结构体系。其次要向学生介绍学习线性代数的方法，遇到抽象问题如何去处理，面对密集概念如何去理解，课前、课上、课后如何去合理利用时间，只有让学生充分了解线性代数的内容，明白如何去学习，才能增强学生学习线性代数的自信心，激发学生的学习兴趣。另外在教学中，要抓住重点，分解难点，化解学生学习的难度。例如在学习行列式时，重点是利用行列式的性质和展开定理去计算行列式，对于行列式性质的证明可启发学生利用行列式定义去处理，并且把具体证明留给学生课后去解决。行列式的定义比较抽象，讲解时可先从具体的二、三阶行列式入手，仔细观察它们的特点，归纳出一般规律，然后再定义n阶行列式，这样从具体到抽象，就可化解抽象概念难以理解的难点。又如求齐次线性方程组的基础解系是线性代数的一个基本方法，它既是重点又是难点，教材中求基础解系有关定理的证明比较抽象，这个证明既花时间，学生又难以理解。在具体教学中可考虑从一个具体的齐次线性方程组入手，通过求解这个方程组的通解，再把它改写成基础解系的线性组合，再加以验证基础解系，在此基础上再归纳出求基础解系的一般方法。通过这样由具体到一般再抽象的处理后，学生就比较容易理解并掌握求基础解系的方法了，从而避免了定理证明过程中的抽象性，而定理的证明可让学生课后自己学习。总之在教学中教师只要抓住重点，分解难点，抽象问题具体化，就能化解学生的学习难度，学生学习的积极性自然就会提高，从而激发学生的学习兴趣。最后需要注意，在教学中不能只采用教师讲学生听这种单一的教学方法，课堂上，教师要鼓励学生积极参与教学活动，大胆提出问题，如果时间不够也可鼓励学生写纸条或课后提问，然后教师根据实际情况给予集体解答或课后给予个别解答。通过鼓励学生积极参与学习，可以充分调动学生学习的积极性，同时线性代数的学习也会得到有力的保障。

3 抓住基础知识，注重基本方法

除了优化教学内容，对线性代数的基础知识，基本方法始终应该是教学的重点，学生之所以对学习线性代数产生畏难情绪，除了其抽象的原因外，另一个重要原因就是线性代数的概念密集，学生在学习过程中很难把握其基本知识、基本方法，因此在教学中应该抓住基本知识，注重基本方法。例如，在行列式教学中，基本知识就是行列式定义、性质及展开定理，基本方法就是计算行列式。另外在教学中，教师要准确把握重点、难点，重视基本知识的讲解，注重基本方法的归纳和应用。例如矩阵作为线性代数的工具，其理论体系比较成熟，因此在教学中要围绕矩阵的基本知识，基本方法作为一条主线展开教学。矩阵的四则运算重点抓住逆矩阵，矩阵的初等变换重点的基本知识是矩阵的秩，矩阵的阶梯形和行最简行，矩阵的初等变换，初等变换不改变矩阵的秩。基本方法是求逆矩阵，求矩阵的秩。向量组的相关性部分其重点基本知识是向量组的线性相关性，向量组的秩，向量组的极大线性无关组。基本方法是用定义判别向量组的相关性，用矩阵的初等行变换1）判别矩阵列向量组之间的相关性；2）求矩阵列向量组的秩；3）求矩阵列向量组的极大无关组；4）把向量组的每个向量用其极大无关组线性表示。线性方程组重点基本知识是线性方程组的有解判别定理，基础解系，线性方程组与增广矩阵的1-1对应关系。基本方法是利用矩阵的行初等变换解线性方程组。而掌握了行列式计算和解线性方程组后，用这两个基本方法结合特征值和特征向量的概念就可以解决矩阵相似对角化的问题，结合施密特正交化，就可解决实对称矩阵的正交相似对角化问题，结合二次型与实对称矩阵1-1对应的关系，再通过实对称矩阵的正交相似对角化又可把二次型化为标准形。综上可以看到只要抓住了矩阵这个工具，也就抓住了线性代数的牛鼻子，也就把握住了工科院校线性代数的课程教学。

4 结合课堂教学，渗透思想方法

线性代数包含了丰富的数学知识，蕴含了许多数学的思想方法，这些数学思想方法都蕴含在数学知识的体系中，需要教师在教学中逐步去挖掘。数学思想方法对学生的学习有普遍的指导意义，有利于培养学生良好的思维方式和习惯，为将来进一步发展打下扎实的基础，因此教师要结合课堂教学，将丰富多彩的数学思想方法抽象出来，强化学生对知识创新过程的认识。例如，利用方程组的系数矩阵推出的矩阵的初等变换，在这里有些学生在学习过程中并没有理解变换的思想，把它与行列式性质的化简混为一谈，习惯用等号来代替矩阵的初等变换记号，因此，在教学中要强调矩阵的初等变换是把一个矩阵按一定规律化为另一个矩阵，这是一种变换，前后两个矩阵并不是相等的关系，并且解线性方程组，求矩阵的秩，判别矩阵列向量组的相关性，求矩阵列向量组的极大无关组等问题都需要用到这个变换，这样学生就会对变换的思想有足够清晰的认识，看到了变换思想的重要性。又如线性方程组与增广矩阵是1-1对应的，利用化归思想，可把解线性方程组的问题化为对矩阵进行初等变换的问题；同样二次型与实对称矩阵是1-1对应的，利用化归思想，又可把二次型化为标准形的问题转化为实对称矩阵的对角化问题。又如分类思想，向量组可按线性相关和线性无关进行分类，这样通过逆否命题可把向量组线性相关的问题转化为向量组线性无关的问题，反之亦然，而教材中往往只叙述向量组线性相关的命题或线性无关的命题，这样通过分类的思想就可解决向量组线性无关或线性相关的问题了。数学知识本质的反映就是数学思想方法，数学思想方法具有高度抽象性和概括性，在教学中，教师在传授数学知识的同时，更要注重提炼数学知识中的数学思想方法，将教材中隐藏在数学知识背后的数学思想方法挖掘出来，精心设计教学过程，使数学思想方法的渗透能在教学过程中得以实现，从而使线性代数的课程教学过程成为发展培养学生较好数学思维品质的过程。

5 转变教育观念，改革教学手段

随着科学技术的不断发展，人类步入了信息时代，现代教育技术随着计算机的发展，逐渐走进了课堂，其重要标志就是计算机多媒体辅助教学，其全新的概念带来了课堂教学的变革。教师既是知识的传播者又是教学活动的组织者，更需要不断转变教育观念，改革教学手段，只有这样才能为线性代数的课堂教学注入新的活力。多媒体是以文字、图象、声音和视频等多种媒体传递信息，在课堂上使用这种辅助教学，可使教学内容图文并茂且生动形象，这从根本上改变了传统课堂上以板书为主的单调教学模式，更易引起学生的注意。另外更重要的是多媒体辅助教学为解决教学过程中内容多与课时少的矛盾提供了一个强有力的工具，它可在相同时间内传递更多的信息，使学生在有限时间内接触更多的知识。但多媒体辅助教学也有其不足之处，在使用多媒体课件时，没有板书，这样从逻辑推理的角度看，学生的思维可能会出现断裂，最终导致学生不清楚教师在讲什么，因此为避免上述情况的发生，教师要精心设计并制作电子教案，使这个教案在教学过程中类似于板书，尽量适合学生的思维过程，信息要一行一行的出现，不要一次出一屏，以免造成信息的泛滥，同时要多增加前后内容的链接，采取必要的回放，对重要的例题和方法必要时可停下，边讲边让学生做笔记，总之要让学生在听课时充分感受到上课内容的循序渐进。当然要做到这些也不是容易的事，教师平时要多多学习如何制作多媒体课件，做不到这一点，把人家的课件拿来不结合自己所教学生的具体情况而盲目使用结果只会适得其反。

线性代数课堂教学是一个值得探讨的问题，提高线性代数课堂教学的质量是师生的共同愿望。以上是本人在线性代数课程教学中的一些思考，提出来和各位同仁一起探讨交流，共同提高。

参考文献：

［1］教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求（修订稿）［J］.大学数学，2004，20（1）：1-6.

［2］同济大学数学系.线性代数第5版［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］刘坤，许定亮.线性代数［M］.南京：南京大学出版社，2009.

（责任编辑：郝安林）

Some Thinking on Course Teaching of Linear Algebra

QIN Yong
（School of Science，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002，China）

Abstract：In this paper，combined with the classroom teaching of linear algebra thought in course teaching of lin⁃ear algebra is expounded from five aspects to the optimization of teaching content，strengthening method guid⁃ance，grasp the basic knowledge，penetrating thought method，using multimedia assistant teaching.

Key words：linear algebra；course teaching；learning interest；basic methods

中图分类号：G420

文献标志码：A

文章编号：1673-2928（2016）02-0113-03

收稿日期：2015-12-23

作者简介：秦勇（1958-），男，江苏常州人，常州工学院副教授，从事有序代数研究。