本科教学中学生数学知识的建构

侯英

（贵州财经大学 数学与统计学院，贵州贵阳550025）

本科教学中学生数学知识的建构

侯英

（贵州财经大学 数学与统计学院，贵州贵阳550025）

学生数学知识的建构是提高本科数学教学质量的关键，关系到学生对知识的掌握和运用。文章根据数学学科的特点，从知识的迁移和运用、多角度探讨公式定理、自主探索与合作交流及优化认知结构四个方面分析如何建构数学知识。

数学知识；知识的建构；迁移；自主探索：合作交流

建构主义认为，新知识的学习是以已有知识经验为基础的一个主动意义的建构过程。［1］是学习者通过自身原有的知识经验与外界环境进行交互活动的获取新知识的过程。本科数学知识的建构是基于学生已有知识及生活经验，通过模仿、对比、反思等方式，在数学活动中将新知识内化为其自身的知识。

数学是最具探索性的学科之一，如何提高学生学习数学的能力，掌握数学的思维方法是很多教师一直思考的问题。在传统教学中，教师往往按照大纲的要求讲解新知识，通过课堂上的例题介绍基本的解题方法，学生模仿所学的内容记忆和练习。这种方法产生的结果是：学生把应用非常灵活的数学知识学成了只会死记硬背照抄照搬的内容，遇到没见过的问题不知如何分析解决，变得束手无策。

为了改变教学中不利于学生思维发展的教学模式，现在越来越多的学校在探索新的教学方式，想方设法提高学生学习数学的能力。具体就是教师“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”［2］如何让学生理解、掌握数学知识和技能，是研究学生数学知识建构的关键。文章就教学改革中所进行的思考和探索对学生数学知识的建构谈几点想法。

一、通过对知识的迁移和运用构建新知识

迁移就是学生把在一个情境中学到的知识运用到新的情境中的能力。本科数学的内容往往以原有数学知识为基础，知识点之间联系密切，如何利用原有知识促进新知识的学习，是教师在课程设计时应考虑的问题。首先，教师要了解学生的数学基础，根据实际情况确定课程引入所选实例的难易程度，要保证学生熟悉所涉及的知识点，以此引出新的内容才能做到水到渠成。如，线性代数中关于矩阵的初等变换的内容，可以让学生先回忆行列式的性质及计算方法，学生对此比较了解，然后再介绍矩阵初等变换的三种形式，借助于知识之间的共性将已学方法迁移到后续课程中，形成矩阵初等变换的计算方法。其次，在对知识的运用中建构新知识。比如在学习正态分布这节内容时，教材中给出引理：若N（0，1）。那么这个结论有什么用途，我们可以通过下面的练习加以说明。

练习：某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩分布近似于正态分布N（72，σ2），96分以上的占考生总数的2.3％，求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。

分析：由题意得P｛X＞96｝=2.3％，即P｛X≤96｝=0.977。这时就需要用引理将X先化为标准正态分布，再进一步通过查表求值。

学生在做题的过程中会发现，这个引理实际上是解有关正态分布问题时常用的方法，思路就是将一般的正态分布问题化为标准正态分布去解决。教学中，只有将所学的公式、定理等用于实际问题，学生才能真正抓住数学对象的本质属性，形成个人知识。

二、发挥学生的想象力，多角度探讨公式定理

对数学知识的掌握不仅需要记公式定理，更要深刻理解定义、定理、公式的含义，抓住其内在本质。教学中，教师要提倡在理解的前提下记忆，鼓励学生用自己的语言说明定义和定理的含义，真正把所学概念构建成自身的知识。比如记可逆矩阵的定理，可以让学生自己写一个可逆矩阵，并说明为什么是可逆矩阵。这样比背矩阵可逆的充要条件是其行列式不等于零效果好。由于数学公式的运用灵活性非常大，而学生习惯于照着教材中的形式来记忆，因此教师在设计教学内容时，可以引导学生从不同角度将所学公式进行一些变形。如由矩阵A的逆矩阵的公式就可以得到，在此基础上求：“已知A为三阶矩阵，|A|=2，求|（3A）-1-2A*|的值是多少？”这样的题目就不会感到太难。而对于象微分公式d（ex）= exdx，如果让学生从左到右和由右到左两个方向记，不仅使学生会求微分，还能使他们容易理解后面学习不定积分这章的凑微分法求有关积分的一些问题。所以如果学生对定理、公式运用得灵活，就能很大程度上提高学生学习数学的能力。教学中要逐步培养学生深入研究定理、公式含义的习惯，教师可以适当拓展教材上的内容，丰富知识点；也可通过习题让学生进一步理解定理的条件和结论所表达的意思。如概率中的独立同分布中心极限定理，学生对此定理的内容理解起来感觉困难，如果给出问题：某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920h的概率。［3］首先，让学生分析题目中的条件是否满足定理的要求。这16只元件的寿命Xi（i=1，2，…，16）是相互独立的，且都服从指数分布，属于独立同分布。由均值为100h，可得E（xi）=100，D（xi）= 10000。其次，分析：如果满足定理条件应该用什么方法去解决。由定理的结论）为其极限分布，即转化为正态分布来处理。这样的教学设计会帮助学生真正理解定理所给的结论和蕴含的解决问题的方法，促进新知识的建构。

三、在自主探索与合作交流中建构知识

本科学生已经具备了一定的学习能力，教师在课堂上要充分发挥学生的主体地位，对每个知识点以探索问题的方式引出所要学习的内容，自始至终引导学生自主探索，调动他们的积极性，尽量让学生自己动脑去思考。即使他们的思路、方法不完全正确，也可使之从中吸取经验。在自主探索过程中，不同的学生由于各自的数学基础、思考问题的角度不同，所取得的效果也会存在差异。因此，学生之间进行合作交流是非常必要的。学生单独无法解决的问题，通过合作交流，综合不同的想法，对原有的思考进行补充，就可能得以解决。课堂上，教师根据情况让学生互相研究讨论，各抒己见，发现难点，尽量自己想办法解决。对实在解决不了的问题，教师不要直接给出答案，应做适当的提示。数学的学习不能只靠课堂上老师的讲解，想学好数学必须课后花时间去消化理解，这就需要通过解决一些具体问题来实现。教师可以适当布置一些有难度的练习题，让学生课后查找资料，小组讨论研究。由于每个学生解决问题的方法、途径会有差别，让他们互相交流，交换思想，研究讨论，可以形成一个互相学习的氛围。在这里，学生既可以看到自己的不足，也可以学到别人好的思想和方法，从而拓展思考问题的空间，提升自己学习数学的能力，这将有利于学生在今后的数学学习中养成良好的学习方式。

四、把握知识体系，优化学生的认知结构

本科数学的各门课都有其完整的知识体系。而学生原有的知识经验往往是没有经过加工的某个定理、公式等非整体的内容，这些知识不会自动形成一个完整的体系。学生在建构知识的过程中，不一定能意识到以前学习的知识点或某种方法和新的内容之间有什么联系。如果教师在教学中只是按部就班地遵循教学进度讲授，学生就会盲目地接受一个个知识点，结果是边学边忘，形成了零散的片段。因此，教师在讲授每一门课之前应先说明这门课的知识结构，各章之间的联系；在讲每一章之前介绍它的主要内容，及在整个教材中处于什么地位；在学完一章的内容后再让学生归纳总结所学的重点，自己获得哪些解决数学问题的方法，能用在什么地方。当学生建构起对问题的深入表征时，就可以发现非常有技巧和领域专门性的快捷策略。［4］如在学习极限之前向学生介绍极限是后一章导数的基础，导数和不定积分互为逆运算，不定积分的计算公式、方法又是定积分的基础，而多元函数微积分都是在这些内容的基础上进一步加深。教师可以根据学生的认知结构，引导学生学会自己归纳总结，形成相互联系的、完整的知识体系，这样在知识建构的过程中将有助于帮助他们回忆、复习、比较与新知识点相应的内容，更好地建构新的知识体系。

［1］周友士.基于建构主义的数学概念转变学习［J］.数学教育学报，2004，3.

［2］中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.

［3］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1989，8.

［4］辛自强.建构学习中知识的动态变化：以数学为例［J］.教育科学，2004，8.

The construction of students'mathematics knowledge plays an important role to improve the quality of undergraduate mathematics teaching，which was connected with the use of knowledge.To construct students'mathematics knowledge，in this paper，the author gives some advice from four aspects:transfer and application of knowledge，discussion of formula and theorem，independent exploration and cooperation，optimization of cognitive structure.

mathematics knowledge；construction of knowledge；transfer；independent exploration；cooperation

G642

A

2096-000X（2016）22-0117-02

侯英，女，吉林公主岭人，硕士，研究方向：课程与教学论。