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根式背后的世界级难题!

2016-03-16顾森

关键词:根式式子难题

顾森

斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度最著名的数学家,也是世界上为数不多的数学天才之一.他几乎未受过系统的数学教育,所有的数学知识都是自学的,他在数论、连分数、数学分析、无穷级数等领域,都作出了很大的贡献.第一次世界大战期间,他的身体状况急剧恶化,最终于1920年离开人世,当时他才‘32岁,在短暂的一生里,他一共归纳整理出了3000多个漂亮的数学等式,其中有很多式子都别具一格,给后人以无数的启发.

拉马努金的很多研究成果,都以问题的形式发表在了《印度数学会杂志》上.1911年,他在第3期的《印度数学会杂志》上提出了这样一个问题:

这是他在《印度数学会杂志》上最早提出的问题之一.注意,这是一个无限嵌套的根式,各个根号前面的系数分别是1,2,3,…,拉马努金等了6个月,也没有收到一份答案.后来,他只好自己公布了答案:这个式子精确地等于3.而事实上,他总结出了一个更加普遍的公式:

而拉马努金原本提出的那个问题,其实只是上述公式中a=0,n=l,x=2时的特殊情形,

拉马努金很喜欢“把玩”根式,在191 1年至1919年,他一共向《印度数学会杂志》提供了58个问题,其中的很多问题都与根式有关.他在第6期的《印度数学会杂志》上问道:竞等于多少,很多时候并不容易.拉马努金在此提出的,就是这类问题的一种特殊形式:如何求出两个立方根之和(差)的平方根.

拉马努金在第7期的《印度数学会杂志》上还提出了一个类似的问题:

拉马努金对四次根式也有研究.他在第9期的《印度数学会杂志》上提出了这样的问题:

在同一期杂志中,他提的另一个问题则涉及到了五次根式:

在第11期的杂志上,甚至还出现了一些更高次的根式:

有时,拉马努金也会提出一些形式上迥然不同的根式问题,如:

注意,这个结论并不是显然的,你可以拿计算器用具体数值来验证一下.另一个类似的问题如下:

当然,同学们现在还无力解决这些问题,但同学们也一定能感受到,数学里的学问实在是太多太多了.这不,就连小小的根式背后,也有数不清的大难题呢!

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