对一类三角函数关系的多角度思考

顾红华

小结 1.此类题型的难点在于由z的范围及sinxcosx的符号，进一步约束角x的范围，确定sinx-cosx的符号，避免分类讨论，简化计算.

2.在推导过程中我们还可以发现：

二、为什么设t=sinx±cosx，而不设t=sinxcosx

三、设t=sinx±cosx后要注意什么

2.设t=slnx±cosx后，原题就转化为关于t的二次函数在给定的某区域上的最值问题，核心是函数对称轴与区间的相对位置关系，要综合运用配方法、数形结合、分类讨论等思想，结合二次函数的图象与性质来解决.若含有参数，还要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，切勿直接将定义域端点代人求解或将顶点的纵坐标当做函数的最值.

四、还有没有其他方法解决此类问题

一起来看两道题：

例2 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.

基于这个想法，我们进一步探究：能否将此函数式变为关于一个角的某个三角函数？于是得到如下解法：

这样的解题思路也很自然！当然，采用的方法实际上与设t=sinx+cosx还是类似的！

高斯认为：“给人快乐的不是已懂的知识，是不断的学习；不是已达到的高度，是继续不断的攀登.”对于常考题型，我们不仅要会做，更要搞清为什么要这样做，怎样才能达到巧做，更重要的是巩固知识，挖掘方法，培养思想，不能用固定思维替代其他思维方式的体现，要通过不断地反思，多角度辨析问题，多做研究，提升自我.