旋转运动的叠加

黄晓勇

在三角函数学习过程中，我们通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，感受到周期现象的广泛存在，认识到周期现象的变化规律，体会到三角函数是刻画周期现象的重要模型.那么我们有理由相信：“三角函数的叠加”自然就与“周期运动的叠加”存在某种必然联系.在这里，我们非常有必要介绍法国数学家傅立叶（J.B.J.Fourier）在1807年率先提出的无穷级数理论：“任何周期函数都能用若干个正、余弦函数的和（一般为无穷和）来表示”.也可简单叙述为：由1，coskx，cos2kx，cos3kx，…；sinkx，sin2kx，sin3kx，…中若干个函数的和所得到的函数仍是周期函数.多么令人惊讶！cosbx即可看成两个旋转运动的叠加，作周期运动.

有了上述认知后，让我们将目光聚焦两角和与差的三角函数，从三角函数的本质（点的旋转运动）的角度再次审视这些公式，cosαsinβ，是由两个函数y=sinαCOSβ与函数y—cosαsinβ叠加而成，实质上是多个旋转运动的叠加.

同样，两角和与差的余弦函数，你又会怎么看？毋庸多说，你应了然，它们都可以看做是旋转运动的叠加.

原来如此！这是不是也验证了数学所追寻的简单简约，其实就是一种更高层次的返璞归真，是对数学学习本质的一种回归？

在上述研究过程中，我们不妨把周期相同的正弦与余弦函数的和f（x）=Asinx+Bcosx（其中实数A，B不全为0）称为正弦函数与余弦函数的叠加.显然，asin（x+θ）=asinxcosθ+acosxsinθ=Asinx+Bcox，所以形如asin（x+θ）的函数是正弦函数与余弦函数的叠加.形如acos（x+θ）的函数自然也是如此.

反过来想，是不是所有的正弦函数与余弦函数的叠加都可以化为asm（x+θ）或acos（x+θ）的形式呢？

实际上，函数f（x） =Asinx+Bcosx可改写为

由此可见，任意的正弦函数与余弦函数的叠加函数f（x）都可以化为asin（x+θ）或acos（x+θ）的形式，而且周期不变.像这样将两个同周期的正、余弦函数的和（差）合并为一个三角函数的变形过程叫“合一变形”，它是解三角函数问题的一个重要的方法.

其实运动的叠加原理在其他学科中有更广泛的应用，如物理学中的单摆运动、弹簧振子、交流电、波的传播等，

曾经有人将“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”比作一棵大树的三大分枝，作为一个简单又基本的周期运动的例子，“圆周上一点的旋转运动”则是这棵大树的“根”.相信在我们走近这棵大树，感悟它枝繁叶茂，博大精深的同时，也一定懂得了许多数学生长的规律，懂得了许多学习数学和学会学习的基本原理，这将会使得三角函数的学习更简单、更自然.