述论广东近代高等教育中的数学课程——以《算术驾说》与《几何赘说》为例

廖运章

(广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006)



述论广东近代高等教育中的数学课程
——以《算术驾说》与《几何赘说》为例

廖运章

(广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006)

摘要：《算术驾说》与《几何赘说》是潘应祺自编的广东高等学堂预科数学课本，是当时广东地区具有代表性的数学论著和流行较广的数学教科书，内容仅相当于现今小学初中的数学水平；采用横竖混合编排，数学符号中西兼用；以数学的逻辑关系编排教学内容，注重数学与生活实际的联系；承载传播西方数学文化的历史使命，促进广东近代数学教育的迅速发展。

关键词：广东高等学堂；数学教科书；《算术驾说》 ；《几何赘说》

《算术驾说》《几何赘说》又依次称广东高等学堂预科算术与几何课本，是广东近代高等教育国人自编的数学教科书，也是晚晴广东2本具有代表性的数学著作，勾勒了20世纪初广东近代数学教育的基本状况。无论从数学教育史视角还是广东地方史角度，都具有重要的学术研究价值。

120世纪初广东高等教育中的数学课程设置

中国迈入近代以后，广东的传统教育逐渐向近代教育发展。1901年清廷下诏改省城大书院为省大学堂，1902年广雅书院(1888年成立)改名为两广大学堂，这是近代广东第一所高等学堂，标志着近代高等教育在广东正式启动。1903年朝廷颁布《奏定高等学堂章程》，规定各省只能在省城设高等学堂一所，同年两广大学堂又改名为两广高等学堂，1906年停招广西省学生，改称广东高等学堂，辛亥革命后更名为广东省立第一中学，1935年改称广东省立广雅中学。广东高等学堂虽办学时间不长(若从大学堂开办计起，由壬寅至辛亥不过10年)，但却首开广东近代高等教育之先河。

在广东高等学堂的建设过程中，面临的主要困难是师资难聘、经费难筹、学生难招。当时能胜任新学的教学人员很少，学堂毕业生和留学归国人员供不应求，如水陆师学堂毕业并精通数学的曹汝英与潘应祺、官费留日归国的朱执信等著名人士担任教习。广东高等学堂分预科、本科，前者3年后者5年即8年为成，招生对象为中学毕业生和文化程度相当者，课程分政、艺两科，政科开设伦理、经学、诸子、词章、算学、中外史学、中外舆地、外国文、物理、名学、法学、理财学、体操等13门，艺科开设伦理、中外史学、外国文、算学、物理、化学、动植物学、地质与矿产学、图画、体操等10门。

在学堂教材的编写方面，辛亥革命前10年，就数学教科书而言，小学教科书国人自编的很多，中学教科书翻译或编译的多，而自编的少，高等教育的教科书翻译的很少，自编的则是寥寥无几[1]。广东高等学堂的算学教科书采用潘应祺编撰的《算术驾说》与《几何赘说》，“现准存古学堂监督咨开恭按，奏定章程学务，纲要内载，采用各学堂讲义及私家所纂教科书，其合于教授之用者，准著书人自行刊印售卖，予以版权一条,查高等学堂算学教员潘应祺，前以积年讲授算稿，编定几何平面六卷，继以历年讲授预科学生算术课本，编定《算术驾说》十一卷，均装印成帙。”[2]这是广东近代高等教育国人自编的数学教科书，是当时广东地区有代表性的数学论著[3]和流行较广的数学教科书，是考察广东高等学堂数学教学的原始资料。

2潘应祺及其数学著述

潘应祺(1866-1926)，广州番禺化龙西山村人。幼年在乡随父耕读，聪明好学，考取秀才后，又考入当时引入不少西方科学的广东实学馆(后改博学馆、水陆师学堂)，毕业后曾应乡试考取举人，之后投身教育事业，先后任教于广雅书院、广东高等学堂、教忠学堂等校，教授数学。辛亥革命后，曾在广州市政公所任职(时曹汝英为坐办)，并曾从事番禺县志的续修工作。1924年重执教鞭，在香港圣保罗女书院任教，1925年回广州开设教馆，教授国文、数学、英语等。

潘应祺具有很高的数学造诣，就读广东实学馆时跟随老师方恺“习算学，先笔算，次代数、几何、平弧三角、测量诸术。”曾与其他5名同学在方恺讲稿的基础上整理成《代数通艺录》十六卷。方恺(1839-1891)，江苏阳湖(今江苏武进县)人，其父方骏谟(1816-1879)与数学家华蘅芳、张文虎等人交厚。光绪八年(1882)初广东实学馆开馆，两广总督张树声推荐方恺为汉文教习，教授汉文和算学。方恺“博览多识”“于舆地历算之学，靡不综核淹贯，著书满家”，数学著作有《代数通艺录》十六卷、《笔算初阶》一卷等。 方恺在广东水陆师学堂(1882-1887)的五六年中一直兼授数学，方恺不会广州方言，以板书代口授，“张壁立书，推本天元借根，钩稽数理，建简核西术代数，译示讲诵”，学生“传习算草，各有成帙”，方恺“辄为作序，以奖励之”，学生们对他很敬服。方恺在广东水陆师学堂的成就很大，先后有130多名学生从他学习数学，潘应祺是其中的佼佼者。

潘应祺著有《算术驾说》十一卷、《几何赘说》六卷、《代数通艺录续集》二卷、《经算杂说》一卷、《算学杂识》十卷(与曹汝英合撰)、《佛山书院算课草》十一卷。其中，《几何赘说》又名《广东高等学堂预科几何课本》，根据明末徐光启与利玛窦合译的欧几里得《几何原本》改编而成，仍沿用徐光启等创造的体例；《佛山书院算课草》由熊方柏鉴定、潘应祺与曹汝英覆勘，是光绪二十四年(1898)春佛山书院添考数学的课卷汇编，主要涉及三元一次方程组求解、等比数列和等差数列计算、勾股问题以及平面几何中的三角形和圆，以解三角形问题为多，题目多是实际应用问题。

3广东高等学堂预科数学教材的内容及特色

依《奏定学堂章程》，高等学堂伊始就设置数学课程，每周6 d合12 h[4]，先后由林汝魁(番禺人)、林庆镐(新会人)、罗伟卿、朱孔阳、潘应祺等人教授。《几何赘说》和《算术驾说》(图1)是潘应祺1903年起任教高等学堂时期自编的2本数学教材，是其多年研究、教授数学的心得与总结。

3.1 《算术驾说》内容特点分析

图1　广东高等学堂预科数学教科书

《算术驾说》总393页[5]，全书十一卷内容包括：卷一数名，列位、加法、小数加法；卷二减法，小数减法、加减杂题；卷三乘法，小数乘法、加减乘杂题、十一十二单乘法、推加乘法、截乘法、叠乘法；卷四除法，截除法、小数除法、用加减乘除各号及括弧法、加减乘除杂题、附说(解乘除试验法之理、解以〇除数得无穷之理)；卷五析生数法，求最大公约数法、求最小公倍数法、相消法、附说(解析生数法内审查除法尽否之理)；卷六分数，约分、齐分、加分、减分、乘分、除分、重分数、分分数、诸分错杂之式、诸分杂题；卷七项数(即诸等数)，化大项为小项法、化小项为大项法、项数加减乘除法、化大项之分数或小数为小项法、化小项为大项之分数或小数法、外国之项数、斤两算法、天度时刻相求法、经度时刻相求法；卷八比例，合率比例、连环比例、百分法、卷九平方，计税亩法、开平方、小数开平方法、分数开平方法；卷十立方，体积重率、开立、小数开立方、分数开立方；卷十一 诸乘方，开诸乘方、小数开诸乘方法、分数开诸乘方法、诸乘方代开法；附录求积法。

该书例言对编写背景作了说明，一是《算术驾说》系根据《奏定中学堂章程》要求编撰而成，“奏定学堂章程中学堂各学科分科教法算学条下云，外国以数学为算法各种总称，……其中以实数计算为算术，……兹编所说，皆以实数计算者，故名算术。”二是阐述书名的由来，“驾，传也。……兹编虽或间有发明，亦不过引申旧绪，传述前闻而已。题曰算术驾说”，意为传述前人的数学知识，并非自己创造，因此得名。三是阐释教法与学法，“凡算理算法，势必相辅而行。……惟间遇算理稍繁者，似宜先言法而后言理。”以方便学生领会，“每言一法，后继以习问”，鼓励学生勤加练习，学习应循序渐进，不能“躐等求速”。四是对“算术推之则难明，以代数推之则易解”的算术问题，“统俟习代数时言之，自然迎刃而解。此时似不必劳精敝神而为之也。”而“求积之法，颇切实际用”，则“附录于本编之后”，注重数学与生活实际的联系。显而易见，这些数学教学理念至今仍有现实意义。

3.2《几何赘说》内容特点分析

《几何赘说》含照会1页、吴道镕序2页、利玛窦序5页、徐光启序2页、徐跋1页、徐杂议2页、《赘说例言》3页、正文281页，总297页，由《几何原本》前六卷构成，包括欧几里得平面几何的全部内容[6]。卷一“界说”(定义)点线面等36个几何概念，给出4条公设(“求作”)、19条公理(“公论”)和48个命题，作为基于定义、公理之严密逻辑推理体系的基础，内容涉及三角形、平行四边形作法及其性质；卷二主要论及平面直角形的等积变换，用几何语言叙述代数恒等式；卷三讨论圆及其性质；卷四为圆内接、外切形及其性质；卷五介绍数量(线段、面积、体积等)成比例、比例式及其性质；卷六是平面相似形及其性质。

《几何赘说》以《几何原本》为蓝本，在内容编排、知识呈现、例题选择、数学符号使用等方面基本一致，数学程度与现今初中图形与几何水平相当。但在知识点的讲解上，《几何赘说》并没有照本宣科，直接套用《几何原本》的解说，而是在充分理解之后，加进自己的领悟与说明，选取或编增适当实例(如“以代数释几何”、用数代替线段讲述卷五的分数概念)诠释知识，去繁就简，例题书写也更简洁、一目了然，整体上更有利于学生理解与掌握。同时，每卷之后都编选、增加一些相关例习题，供学生练习，凸显教材本质。

囿于《奏定学堂章程》只规定初等/高等小学堂的具体数学课程，中学堂以上仅罗列学科名称如算术、代数、几何、薄记、三角等，其中具体内容不加限制，由学堂自行决定。潘应棋则很有见地沿用清代同文馆和一些西学堂把《几何原本》作为必读数学教科书的传统，并结合高等学堂实际编成《几何赘说》，推动了几何公理化思想在广东近代教育中的传播，百年的数学教育实践表明潘应棋的远见卓识，至今这些几何知识仍是中小学数学教育的核心内容，潘应棋及其《几何赘说》广受后人推崇[7]。

4《算术驾说》与《几何赘说》的历史贡献

第一，依托良好的数学教育环境，传承广东重视数学教育传统，传播优秀西方数学文化。鸦片战争以降，受求强求富、中体西用等洋务思想以及务实、开放、兼容、创新为特征的岭南文化影响，晚晴广东数学教育得到前所未有的长足发展，形成良好的数学学习氛围，一些书院、学堂始设数学课程，先后出现一批学贯中西、专心数学研究并热心传播数学的数学教师群体，如学海堂的陈澧与邹伯奇、广州同文馆的吴嘉善、广东实学馆的方恺等[8]，都是当时享有全国声誉的数学名家，潘应祺的教科书正是顺应大众学习西方数学热潮的时代产物，承载着传播西方数学文化的历史使命，以实现中国传统数学与西方数学的顺利合流。

第二，作为国人自编的近代高等教育数学教科书，《算术驾说》与《几何赘说》推进了中国数学教育的近代化进程。随着癸卯学制的颁行，各级各类学堂都不同程度地开设数学课程，数学教育由是渐得普及，但新学堂的大量剧增使数学教科书供不应求，高等学堂和大学堂尤甚，一般直接采用外文本。潘应祺将其研究数学的心得与多年进行数学教学的体会，撰写了适合高等学堂预科算学教学的课本《算术驾说》与《几何赘说》，并成为当时岭南地区流行多年的数学教科书，是非常难能可贵的，有效地促进广东近代数学教育的迅速发展。

第三，体现数学教育的实用观，即数学教育的目的是训练一种技能，以为工艺制器、经世致用之具，而不是训练科学精神与方法，借以提高人的素质，这是中国传统数学实用性在数学教育中的反映。在合流于主流数学教育100年后的今天，数学教育重视数学的文化功能得到普遍认可，但数学的技术功能一定程度上被忽视了。因此，具有浓厚应用数学色彩的《算术驾说》，以及侧重演绎推理的《几何赘说》也“其讲几何，须详于论理，使得应用于测量、求积等法”[9]，无疑对当代数学教育着力发展学生的数学建模(应用)意识与能力方面，仍具备现实的指导意义。

第四，内容虽无微积分等高等数学内容，但能真实反映高等学堂的数学教学水平。 20世纪初，中国传统数学研究中断，中国数学完成自明末清初以来西方化历程，实现与近代主流数学的合流，学界重在关注西方变量数学如微积分等的学习吸收，数学教育则以西方常量数学为主，因教材、师资、生源等原因，预科修业等同旧制中学，大学堂与中学堂名科虽不同，而学生程度则并无差别，高等学堂以上的数学课程并未及时实施，大学堂算学门终清之世亦未曾建立[10]，如《算术驾说》与《几何赘说》等初等数学遂成为我国近代高等教育数学教学的主要内容，为辛亥革命后制度化的高等数学教育奠定必要的准备与基础。1924年，广东大学成立并设立数学系，1926年更名为国立中山大学，数学系则改为数学天文系，广东高等数学教育从此走上制度化发展道路，目前广东省内的中山大学、华南理工大学、华南师范大学、广州大学拥有数学一级学科博士学位授予权，汕头大学拥有基础数学二级学科博士学位授予权，广东已形成从中小学到大学的完备现代数学教育体系，《算术驾说》与《几何赘说》功不可没。

当然，《算术驾说》与《几何赘说》用旧式文言文叙说，不免古旧，但五四新文化运动后的1920年，教育部颁令“凡国民学校年级国文课教育也统一运用语体文(即白话文)”，白话文才取代文言文，在中国传统数学教育转向西式数学教育的时代，这是可以理解的，不妨碍它为广东现代高等数学教育发展所作的奠基性贡献。

参考文献:

[1] 李兆华.中国近代数学教育史稿[M].济南：山东教育出版社，2005.

[2](淸)罗汝楠.中国近世舆地图说(二十三卷首一卷)[O].广东教忠学堂石印本，宣统元年(1909).

[3] 黄世瑞.创新与进步：广州百年科技发展寻踪[M]. 广州：广州出版社，2001.

[4] 张耀荣.广东高等教育发展史[M]. 广州：广东高等教育出版社，2002.

[5](淸)潘应祺.算术驾说(十一卷)[O].番禺潘氏扈离馆刊本，清光绪三十三年(1907) .

[6](淸)潘应祺.几何赘说(前六卷)[O].番禺潘氏扈离馆刊本，清光绪三十二年(1906) .

[7] 杨泽忠.《几何原本》传入我国的过程[J].自然辨证法通讯,2005(4)：87-91.

[8] 田淼.清末数学教师的构成特点[J].中国科技史料，1998(4)：19-24.

[9] 舒新城.中国近代教育史资料(中册)[M].北京：人民教育出版社，1961.

[10] 郭书春.中国科学技术史·数学卷[M]. 北京：科学出版社，2010.

(责任校对晏小敏)

中图分类号：G649.29

文献标志码：A

文章编号：1674-5884(2016)02-0031-04

作者简介：廖运章(1964-)，男，仫佬族，广西罗城人，教授，硕士，从事数学教育与数学史研究。

基金项目：《广州大典》与广州历史文化研究资金资助项目(2014GZY10)

收稿日期：20151015

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.02.010