三角函数诱导公式和函数的对称性

宋英

三角函数的诱导公式我们比较熟悉，但对一些公式所反映的对称性并不熟悉。下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧。

一、轴对称

定理一 如果函数y=f（x）满足f（x+a）=f（x-a）或f（x）=f（2a-x），函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。

证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于直线x=a的对称点p（2a-x，y），显然有y=f（x）。

说明点p（2a-x，y）也在函数的图象上。

由点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于直线x=a对称。

例如：三角函数诱导公式cos（2kπ-x）=cosx，k∈Z，函数y=cosx的图象对称轴为x=kπ，k∈Z；sin（2kπ+π-x）=sinx，k∈Z，函数y=sinx的图象对称轴为x=kπ+ ，k∈Z。

二、中心对称

定理二 如果函数y=f（x）满足y=f（2a-x）=-f（x）或=f（a-x）=-f（a+x）函数y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称。

证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于点（a，0）的对称点p（2a-x，-y）

由f（2a-x）=-f（x），则-y=f（2a-x）

说明点p（2a-x，-y）也在函数y=f（x）的图象上。点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于点（a，0）成中心对称。

例如：三角函数诱导公式sin（2kπ-x）=-sinx，k∈Z就说明y=sinx的函数图象关于点（a，0）成中心对称；由cos（2kπ+π-x）=-cosx，k∈Z，说明函数y=cosx图象关于点（kπ+ ，0）成中心对称。

应用上述结论就比较容易解决人教版数学必修四教材第70页的第17题：

1.用描点法画出函数y=sinx，x∈0， 的图象。

2.如何根据第1小题并应用正弦函数的性质得出函数y=sinx，x∈0，2π的图象？

编辑 温雪莲