写在后面



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一、什么是实现数形结合的具体方法？

“数与形”的教学，当然要关注数形结合，或者说主旨就在数形结合。但我们要考虑如何实现数与形的结合，即考虑落实数形结合的手段。比如，把两个数的乘积理解为一个矩形的面积，即是落实数形结合的手段。通过这种手段，我们可以给乘法分配律构造几何模型，也可以为行程问题提供直观图形，甚至还有人用矩形面积的分析方法解鸡兔同笼问题。又如，建立平面直角坐标系，平面上的一点（形）就对应着一个有序实数对（数），从此，形与形的关系就可以用数刻画（如两直线垂直可以用其斜率乘积为-1刻画），数与数之间的关系也可以用形刻画（如方程组的解就是两个函数图像的交点）。

给小学生讲数形结合，素材要尽量简单，但大致也离不开上述基本思路。本课中讨论两个相等的数的乘积与正方形面积的关系，让学生懂得看到两个数的乘积，可以想到一个长方形；特殊的，看到两个相等的数的乘积，可以想起一个正方形。这就是在落实数形结合。

二、为什么重视“算两次”的思想？

在本课中，形之于数有两个方面的意义，一是解释现象，二是发现规律。利用一幅图就可以说明为什么从1开始连续几个奇数之和恰好是一个自然数的平方。这就是解释现象。对一个图形进行研究，从不同的角度分析它、计算它，就可能得到新的结论。这就是发现规律。本课的现象与规律，从数的角度看，基本上都以等式的形式存在。等式的左右两边，落实到图形中，都是对某种几何量的计算，比如面积、长度等。用两种不同的方式计算同一个几何量，就可以得到一个等式。这种思路就是“算两次”。它是数学中重要的思想方法。

从实质上看，本课中的数与形恰好是通过对同一个几何量算两次实现结合的。因此，应该重视“算两次”。

三、为什么不提“极限”？

极限思想非常重要。米山国藏在其名著《数学的精神、思想和方法》中说：“使数学真正成为科学，使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科学，进步成为深奥而严格的科学的思想，渗透于整个数学中，并且总是在活跃着的思想，就是经过了提炼的极限思想。只要看一看，如果从今天的数学中抽去了极限思想，数学还能保留哪些内容，就能明白极限思想对数学来说是多么重要了。说得严重一点，这时的数学几乎近于一无所有。”小学数学中也不能完全避免极限思想。圆的面积推导就需要应用这种思想。

笔者认为，对这个等式，问题不在计算，而在理解。即，理解无限多个数相加是怎么回事：可以加吗？和是确定的吗？如何确定无限多个数的和？这些问题太难理解，超出了六年级学生的认识水平。事实上，即使是成人，若没有接受近现代数学的训练，也很难说能真正理解这些问题。对此，华中师大赵军在《对高中生极限概念认知状况的调查研究》中有一个结果：分别只有7%的高一学生、24%的高二学生和50%的高三学生认为这个等式是正确的。（高三学生已经学习过极限）

直观的几何模型有利于计算这里的有限多个数的和，但并不能对学生理解这个等式提供好的帮助，直观甚至还会阻碍学生理解这个等式。我们熟悉的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，一句“万世不竭”与其说帮助我们理解这里的等于号，不如说是阻碍我们理解这个等于号。同样，用正方形表示这个等式，其中永远存在的那块空白只会阻碍学生理解这个等式。正因为此，笔者在本课设计中放弃了极限思想，而只通过数形结合的方式解决有限个数的和的计算问题。（本文系湖南省教育科学“十二五”规划立项课题（课题批准号：XJK014BJC004）子课题《小学数学学科教学中开展创新精神和创新能力培养的途径与方法的案例研究》阶段性成果）

（作者单位：长沙市教育科学研究院）