2个趣味数字问题及其推理解决

吴朝阳

在计算机语言里，每一个字符都对应一个编码，所有字符都有自己的码值。以前一般使用的是所谓的ASCII码，现在则发展成为UNICODE。在ASCII码和UNICODE中，0-9的码值、A-Z的码值、a-z的码值分别是连续递增的码值区。因此，知道了0、A及a的ASCII码值，则这3类字符的码值也就都知道了。由于换行符和空格符也是编程中最常用的字符，因此记住它们与0、A、a的ASCII码值，将给编程者提供不小的便利。有趣的是，这5个字符的ASCII和UNICODE码值相同，它们依次为10、32、48、65和97。5个码值中，从O～9这10个数字不多不少，恰好各出现1次。

我们今天要谈的，是30多年前我还是中学生的时候遇到过的2个趣味数字问题。同样有趣的是，它们中的一个正是从O～9这10个数字恰好各出现1次的趣味数字题。

问题一：一个数的立方及4次方总计有10个数字，它们正好从0～9各有1个，请问这个数是多少？

这个问题的答案是18，简单计算很容易得到：l83=5832，l84=104976。在5832和104976这2个数中，从0～9的10个数字恰好各出现1次。

搁在现在，这个答案编个小程序就很容易得到。然而，在连计算器都没有的年代，用纸笔漫无目标地用试算法来寻找答案是一件很费力的事情。因此，用数学推理的方法寻找这个问题的答案，不仅是一个考验推理能力的办法，也是一个聪明的办法。我个人认为，这种数学推理方法非常值得学习，因此我们下面来重现当年的推理过程。

假设N是所求的数，即，N的立方及4次方总计有10个数字，恰好从O～9各有1个。

首先，由于9的4次方小于10的4次方（即10000），故它只有4位数字。因此，N必然大于9。这就是说，答案至少是1个2位数。

其次，由于N至少是2位数，所以N的4次方至少比N的立方多l位数字。因此，N的立方最多只能是1个4位数，而N的4次方则至少是1个6位数。

第三，11的立方等于1331，乘以8即超过10000。也就是说，22的立方是1个5位数。因而由上述第2条可知，N小于22。

第四，17的平方等于289，它小于300。因此289的平方，即17的4次方，将是1个小于300的平方（即90000）的数。也就是说，17的4次方充其量是一个5位数。因此据第2条，我们知道N大于17。

第五，20的立方与4次方的个位数都是0，数字重复出现，因此它不可能是问题的答案。同理，我们可以排除21。因此，N必然等于18或19，二者必居其一。

最后，19的平方等于361，它小于400。因此361的平方，即19的4次方，小于160000。由此可知，19的4次方是1个首位数字为l的6位数。由于361平方的个数位显然是l，所以19的4次方出现重复数字，它同样不可能是问题的答案。

综合第三、第四条，我们知道N只能是18、19、20和21这4个数中的一个。而最后2条告诉我们，19、20、21也都不可能是问题的答案。因此答案只能是——18。

只需要记得20以内自然数的平方，通过推理及简单的心算就可以获得上述问题的答案，此可见分析推理的威力及重要性。好了，我们不多啰嗦——现在来看第2个问题。

问题二：一个4位数2ab2被不小心写成了2ab2，结果却恰好与原来的数字相等，请问这个数字是多少？

我们同样用推理的方法来解决这个问题。首先，b2小于10的平方，即小于100。但是它与2a的乘积等于2ab2，是一个大于2000的数值，因此，2a必须大干20。这样我们得到第一个结论。

a≥5

（1）

其次，29=512。如果a=9，则2ab2大于2900。而2900除以512大于50，所以b2大干50，故有：

b≥8

（2）

现在，我们考虑b=8的可能性。如果b=8，则：

2ab2=2a82=2a+6

据已知条件，这个数的个位数等于2。容易证明，对自然数n，2n的个位数随n的增加形成2、4、8、6的循环，只有当n=4k+l时的个位才等于2。因此，据结果（1），目前的情况下必然有：

a=7。

然而我们知道，1K的准确数值等于1024，它是2的10次方。也就是说，a=7且b=8时，2ab2等于213。虽然这个数的个位数等于2，但它等于8K，数值上远远超过小于3000的2ab2。这就是说，b=8是不可能的。

于是，据结果（2），我们得到如下的第3个结果。

b=9，并且2a×92=81x2a=2a92

（3）

根据上述结果，81×2a的个位数等于2，因而2a的个位数也等于2。如上所述，此时有a=4k+l。据结果（1），我们有a=5或a=9。

我们前面提到，29=512，所以它与81的乘积大于4000，大大超过2ab2的最大可能值。因此，我们得到：a=5，即本问题的答案是：

a=5，b=9

2592=25×81=2592