小议高三复习教学中引导学生生成问题

杭美燕

摘 要：高三的课堂教学，虽然学生已经具有较全面的基础知识，但学生与教师之间、学生与学生之间的认知水平、感悟和理解问题的角度等不同，在课堂中会有很多问题生成. 教师要腾出更多的思考空间给学生自己，鼓励学生在课堂中生成问题. 体会“变式型”问题生成，尝试“填空型”问题生成，探究“开放型”问题生成，让学生成为课堂主体，从而提高学生的学习兴趣、能力和思维，同时教师更容易地发现学生存在的问题，并加以解决，达到课堂“教”“学”双赢.

关键词：问题；生成；主动性；主体；复习教学

高三复习教学中往往是教师设计了很多问题、准备了各种类型的习题，让学生在课堂上思考和训练，以达到复习巩固知识点、提高解题能力、深化数学思想等目标. 对高三的学生而言，高中数学新知识已经学完，进入长时间的复习阶段. 如果长时间被动地进行习题训练，就很难提高学生的学习兴趣，进而提升学生的学习能力和思维品质. 数学的学习重在学习者的主动思考和自身感悟，因此在课堂教学过程中可以把更多的思考机会让给学生，让学生自己生成问题、解决问题. 而教师只是课堂活动的引导者和组织者，学生才是课堂真正的主体.

[?] “变式型”问题生成

“一题多变”是很多教师在复习课中采用的一种教学方式，这种方式的好处是既能让学生在对比中掌握知识和技能，也能节省时间提高课堂效率. 但其实这项工作不一定要教师来完成，也可以放手让学生进行问题生成，这样既避免学生只是跟着教师的变式疲于拼命地做题，也能更好地调动学生的学习积极性和主动性.为了让学生能够适应自己设问的课堂模式，可以从简单的变式开始，或是改变几个字词，或是转为等价的问题，这些都是比较容易操作的方法.

1. 对比型变式

案例1 已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3对任意x∈[-1，1]及任意b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.

案例背景：不等式的恒成立问题与存在型问题专题复习.

学生分析：令f（x）=x2-ln（1+x2）（x∈[-1，1]），g（b）=m2-2bm-3（b∈[-1，1]），

原命题?f（x）max≤g（b）min. 分别求两个函数的最值即可求出实数m的取值范围. 除了使用“任意”字样形成的恒成立问题，还有使用“存在”字样的存在性问题也能进行类似的研究.

学生生成问题：①已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3对任意x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求实数m的取值范围；②已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3对任意b∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]成立，求实数m的取值范围；③已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3，若存在x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求实数m的取值范围.

学生对问题的分析：含参不等式的恒成立问题可以转化为最值问题，含参不等式的存在性问题也可以转化为最值问题. 通过转化可以先求出一个函数的最值，将问题逐步简化，最终简化为单一的恒成立或存在性问题.

评价：通过以上生成问题的方式和过程，可以使学生了解到不等式的恒成立和存在性问题都可以转化为最值问题，从而体会到问题的描述虽有不同，但都可以用类似的方式来解决，使得学生能够触类旁通.真正掌握这一类问题的本质.

2. 等价型变式

案例2 若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，求实数a的取值范围.

案例背景：函数零点与方程的根复习课.

学生分析：根据函数零点的定义可知：函数f（x）的零点是方程f（x）=0的解，也是函数f（x）的图象与x轴的交点. 所以可以将问题等价转化为以上两种类型，其中“函数f（x）的图象与x轴的交点”也可以转化为两个函数图象交点的问题.

学生生成问题：①若方程ax-x-a=0（a>0且a≠1）有两个不同的解，求实数a的取值范围；②函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）的图象与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；③若函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x+a（a>0且a≠1）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

学生对问题的分析：原命题和问题①②虽然等价，但是都不能很方便地求出需要的结果，可以将命题进一步进行等价转化，形成问题③，通过数形结合的方式就可以快速地得出本题的答案.

评价：学生生成的问题将函数的零点、方程的根、函数的图象三者直接的关系明朗化，由于这三类问题可以相互等价转化，因此也提供了相应的解题方法. 学生通过对方法的回忆整理，设计相关的问题，使得原本单一的一个题目的解决拓展到一类问题的解决上，能够很好地达到复习整理的目的. 比起教师的传授，自己尝试命题，印象更加深刻.

[?] “填空型”问题生成

教师在将题目呈现给学生的时候可以去掉一些条件或去掉所求目标，虽然这样的题目看上去不完整，但却可以给学生提供想象的空间. 去搜索可能的条件或所求目标，不同的学生可能给出不同的答案，将这些不同的想法整理到一起，就能涉及一类问题的知识点或是方法技能，教师稍加整理就能形成一节完整的复习课.

1. 条件补充式

案例3 直线l：y=2x+b与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，__________，求直线l的方程.

案例背景：高三第一轮解析几何复习——直线与抛物线的位置关系.

学生分析：抛物线C：y2=4x为定曲线，直线l：y=2x+b的斜率恒定，但纵截距不定，如果需要确定直线，可以再确定直线上的一个点. 直线在移动的过程中变化的还有弦AB的长度.

学生生成问题：①l经过抛物线C的焦点；②弦AB的中点横坐标为4；③

AB

=8；④OA⊥OB（其中O为坐标原点）；⑤点A到准线的距离为5.

学生对问题的分析：如果要确定直线上的一个点，那么可以直接给定坐标，如问题①；也可以如问题②的给法，只给中点横坐标，那么可以根据中点弦的解法求出b的值；或是如问题⑤用定义可以确定直线上一个点的坐标；问题③④给出了一个等量关系，可以结合方程，利用韦达定理解决.

评价：以上学生生成问题涉及焦点弦问题、弦的中点问题、弦长公式、两直线垂直的转化、韦达定理的应用、抛物线的定义及分类讨论思想等. 学生给定的数据也许在解题的过程中不一定能够像教师事先准备好的习题那样求出“漂亮”的数据结果，但是思考问题产生的根源，尝试解决问题的方法的过程是非常值得肯定的.

2. 目标补充式

案例4 （1）已知函数f（x）=x3-3x+4x，求__________.

案例背景：导数应用复习课.

学生分析：导数的应用主要是求函数的单调性、极值和最值，上面这个函数是个不含参的三次函数，可以构造一些简单的考查导数基本应用的三个问题.

学生生成问题：①f（x）的单调区间；②f（x）的极值；③f（x）在[0，3]上的最值；（2）已知函数f（x）=x3-ax+4x，_______.

学生分析：如果函数中含参，那么单调区间、极值、最值都是不确定的，如果要求就需要分类讨论. 或者是加上一些条件，比如说告知单调性，或者是减小区间的范围都可以构成求参数a的取值范围的问题.

学生生成问题：①讨论f（x）的单调区间；②讨论f（x）的极值；③求f（x）在[0，3]上的最值；④若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；⑤若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；⑥若f（x）有三个单调区间，求a的取值范围；⑦若f（x）>0在x∈[-1，1]上恒成立，求a的取值范围.

学生对问题的分析：问题①②③是直接利用导数研究函数的单调性、极值和最值. 而以往遇到的更多的问题是求参数的取值范围，所以可以根据函数的单调性、极值或最值加以一定的条件限制来设计问题.

评价：学生设计的问题基本上能够涵盖导数应用的常见的几种类型，通过对题目的讨论和方法的分析基本上能够达到对函数应用复习的目的. 而且学生设计的问题层出不穷，在此过程中充分调动了学生的积极性，提高了学生学习数学的兴趣，使得高三的复习课堂不再单调.

引导学生生成问题的高三数学复习课，对于学生，虽然学生生成的问题有时比较粗糙或不便于运算，但能够让学生在主动投入课堂教学的过程中，提升学生自身主动思维的能力和学习的自觉性、主动性；对于教师，能够通过学生生成问题的过程，了解学生思维的出发点和思考过程中出现的问题，从而有效地解决教学中的难点和重点，本质上提高课堂的效率；对于课堂，能够活跃课堂气氛，使高三复习课堂更加生动，达到“教”“学”双赢.