注重数形转化，论作图在指数、对数函数中的应用

周继宗

摘 要：西方知名数学家曾经谈到，数字缺空间形貌时就会缺少直觉，表现形体时缺少数量关系便难以细致入微. 明确数量关系，把握空间形式，注重数形结合是数学学习中的一项基本知识，也是一项重要的思想方法. 数字精确但是不够直观，图形直观却不够精确. 因此二者结合能够做到优势互补，尤其是指、对数函数的学习. 指数、对数函数定义相对抽象，如果借助几何图形便可以使抽象的问题具体化，从而把握函数的特征，进行针对性训练，巩固学生对函数的认识.

关键词：指数函数；对数函数；数形转化；教学策略

数量关系与空间形式是数学学习中两个最基本、最基础、最古老也是最先存在的两个研究对象. 数形结合的应用大致可以分为两种情况：一是利用数的精准性来表现形当中的某些特征或属性，这就是用“数”来解释“形”；二是利用形的直观性来描述数与数之间的某种特定联系，这就是用“形”来帮助“数”.本文主要研究“以形助数”这种数形结合的思想，即第二种情况.

[?] 以形助数，数形转化存心中

教师的任务是使学生求是认真，掌握课堂的教学内容，理解教师的教学方法，并通过回答问题或者是课下作业以及小测试等方式将自己对教师所讲内容的理解反馈给教师. 现实生活中，良好的生活习惯能给我们的生活带来种种意想不到的方便. 数学教学亦是如此，作为数学教师我们不应该只是将数学知识传授给学生，而是应该尽自己最大的能力让自己的学生养成某种合适的、方便的、简洁的解题习惯. 这一点非常重要，习惯的养成对学生在今后面对各类题型有很大的帮助作用，其思路总会在不知不觉中在头脑中迸发出来，达到意想不到的成效. 为学生以后的学习减少极大的阻力，能够为他们今后的学习提供更大的助力，减少困惑.

当学生刚刚步入高中时，其数学的开始学习是尤为重要的. 其中就包括指数、对数函数的讲授，所以作为数学教师更应注重这一部分的教学. 在苏教版高中数学必修一《函数模型及其应用》这一节的实践教学中，笔者刻意地联系之前所学的指数函数与对数函数. 而且在做练习题前与学生做了一个小讨论.

教师：“同学们在之前初中或者刚上高中以来的数学学习中，有哪些数学题目一出现，你立刻就会画出相应的图形来解答？”

学生1：“初中时，行程问题基本都会画出一条横轴，然后利用这个横轴来解题.”

学生2：“高中时，求两个数域的交集、子集等问题时，我大都也会先画一个坐标轴，也是利用坐标轴来解题，这样更快捷一下.”

教师：“两位同学说的都不错，他们所说的两种情况确实利用他们所说的方法来解决非常简单. 但是同学们想一想，每次出现这样的题他们都会先画坐标轴，其实这就是习惯，这也是一种思维的显示，也就是以形助数这种数学思维. 习惯的培养对于解决数学问题，非常有帮助，稍加训练，形成思维意识，就可以见题有方法. 对此，我们可以利用前些日子学的指数、对数函数来学习，下面我们就来做一些训练.”

作为数学教师，我们应该引导学生来培养这种思维，让这数形结合的思想成为他们本身的一种意识，见到就会使用. 当然，在培养这种习惯的时候，我们也要多教他们一些技巧，让他们更加容易地利用这一思想.

[?] 把握特征，函数问题莫忘形

正确把握图形特征是快速解答指数、对数函数问题的思维方法. 学生通过作图直观地展示出函数的基本性质. 只有充分把握指数、对数函数的性质，解题时，学生才能真正做到有的放矢.

在讲述指数、对数函数时，可以通过问题情境引入函数，例如，某个细胞进行分裂时，细胞数量y是分裂次数x的指数函数y=2x. 接下来描绘出图形.

在绘完图后，引导学生观察图形，请学生回答下列问题：

1. 观察自己画出的图形，准确找出图形当中特殊的点（如图象与y轴的交点）.

2. 了解函数的定义域、值域、单调性等.

在此基础上推广到一般的指数函数，对y=ax的图形进行分析，给底数a不同的值（如a=，，，2，3，4等），分别让学生列表并绘制到同一直角坐标系中，这样可以直观地看到函数图象在相同x值时，y值的大小，易于比较. 同理，可以比较在相同y值时，x值的大小. 如图1所示：

在这个过程中为让学生了解图形特征列举出如下问题：图形的共同点，a>1与0

1. 指数函数的单调性由底数a的值决定，a>1时单调递增，0

2. 指数函数y=ax的图象过定点（0，1），

3. 指数函数的定义域为R，值域为（0，+∞），

4. 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大，在第二象限内，从逆时针看图象，a逐渐增大.

……

利用这个思路，再讨论对数函数y=logax的图形性质时能起到事半功倍的效果. 因为指数函数和对数函数互为反函数（两者图象关于直线y=x对称），所以可以依据上述的分析方法把握对数函数的特征. 首先对a赋不同的值，在坐标系内描点绘图. 教师引导学生提出问题，学生给出解答，然后总结一般性规律. 甚至可以把指数函数的图象性质与对数函数的图象性质放在一起探讨，增强学生的记忆.

……

学生绘制观察图象，分析图象的过程实质上是不断熟悉函数，把握特征的过程. 学生把握住函数的特征，实际解题可以轻松建立出函数图象，给解题带来极大的方便. 学生把握住函数图象的单调性，对解决定值比较大小的问题有极大的帮助. 因此，在学习中引导学生正确把握函数特征，注重数形结合是教师教学中必要的方法.

[?] 针对训练，典型例题重点记

数学的学习也是一个强化的过程，熟能生巧，技巧总会在自己熟练的练习与及时的记忆当中无形形成. 数形结合就是一个技巧，所以老师在教导学生学习时，不仅要培养他们能够形成一种数形结合的意识、习惯，加强学生在实际解题中灵活思维，把握题型考点，从容地解答问题，而不是单纯地凭借记忆力去生硬照搬. 指数、对数函数中所应用的典型方法，是我们学习中要把握的重中之重，教学中要通过做题来不断强化，给学生提供专题解题的氛围与环境，将数形结合巧妙地结合在这些重点训练中，让学生记住典型才能够解决那些怪题、不常见的题、非典型的组合题等.

1. 常规重点题型

指数与对数函数的学习是高中开始就进行的数学学习，培养数形结合的意识要从头抓起，所以对指数、对数函数这方面的训练教师要尤其关注，教师要根据大纲要求先总结出重点，然后再去找一些重点例题，设置专题课堂，引领学生训练. 例如：最简单的一种类型题就是图形变换及其应用等问题. 如为了得到函数y=9·3x+5的图象，可以把函数y=3x的图象怎样移动得到？对于这一类型，我们首先要注意的是先将主函数变成最简单的格式. 本题就可以这样运用，函数y=9·3x+5可以转化为函数y=3x+2+5，只有这样我们才能够利用图象的平移规律来做出正确的答案. 函数化为最简单的形式以后，整道题就会变得十分清楚明了. 根据“上加下减，左加右减”这一规律我们可以轻松得到答案，即将函数y=3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，就可以得到函数y=9·3x+5的图象. 对付这种类型题，教师一定要自己先做好总结，得出规律. 比如：平移、伸缩、对称等.

2. 非常规重点题型

当然了，上述那种题只是最简单的很常规的题型，它能够将数与形完美地结合起来，对学生数形结合思维的训练有很大的帮助. 但是在学习中，学生也会遇到非常规的题目，因此这类题我们也要注意数形结合思想的培训. 比如，方程lgx=sinx的实根个数这一题，面对这一题，我们的感觉就是这题根本做不了，也没有个数来让我们算一算. 但是如果我们转化一下思维，将题中所给的数联系到图象就会很容易解决了. 那么这道题的实际意思就会变成求出函数y=lgx和函数y=sinx的图象交点个数. 这样一来这道题自然简单多了，学生只要准确画出图象就可以得出正确答案了，如图2所示. 根据图象，我们可以清楚地看到交点有三个，即答案为3. 因此，我们在面对非常规题型时，要跳出原始的思维定式，用数形结合的思想来解决问题.

当然，指数与对数函数的典型例题有很多，笔者所提供的例子只是其中最简单的数形结合的例子，在这里笔者主要说的是：方法的运用、思想的形成、定式的转换，打破以往只知道求解数字这种方法. 解答过程的多样化、方法的独特不但使学习更加有趣，而且学生记忆会更加深刻.

本文主要讨论数形转化中作图在指数、对数函数中的应用，对此我们应该注意将培养学生良好的学习习惯、正确便捷的解题思路作为自己的责任，使学生形成惯性思维，当自己的学生面对函数问题能够直接想到画图这种方法，把握好函数中的数与图形中的点的准确关系，将画图这一方法时刻存在心中.我们还要注意典型的、重点的题型训练，这一方面的培养与记忆也是相当重要的，它奠定了学生今后学习以及所面对的综合题的基础.

数学教学这一话题持续了很长的时间，每个时代都会有不同的定义、不同的内涵、不同的演化，作为新时代的高中数学教师我们应该与时俱进，跟着时代发展的浪潮，为自己的学生提供自己力所能及的便利、优良学习方法，引导他们养成良好的思维习惯. 数学教师也要不断充实自己，不断学习，努力成为一个负责任的、有自己独到见解的新时代教师.