例析高中学生运用数学知识解决实际问题的能力培养

◆刘增花

(广东省潮州市南春中学)

例析高中学生运用数学知识解决实际问题的能力培养

◆刘增花

(广东省潮州市南春中学)

数学是一门工具性的学科，因此在高中数学的教学与复习中，我们的教师应该有意识地培养学生们运用数学知识解决实际问题的能力。为了更好的实施教学达成这一教学目标，根据教学实践和经验，提出了以下几点对策：提取信息，拓展应用；借助实际，激发兴趣；设置新境，鼓励创新；注重综合，引导探究。

高中数学 实际问题 学生能力

运用数学知识解决实际问题，通过实际问题加深对数学的理解是数学教学中的一个重要方面。高中学生遇到实际数学问题或是束手无策或是一知半解，灵活应用数学知识解决实际问题的能力普遍偏低。这大致是因为心理层面的不重视或过度紧张，知识层面的生活知识缺失或数学概念掌握不牢固造成的。应全面指导学生用所学的数学知识解决实际问题，培养提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

一、提取信息，拓展应用

我们都知道，在实际教学中学习数学的目的是为了应用数学。因此，学生需要学会从文字、表格和图形中提取数学信息，进行加工、整理并转化成数学模型进而解决问题。不管是在平时的教学中还是在考试中，很多题目对知识的考查不是原来那么单纯了，而是将部分知识放在一个实际情景中进行考查，引导学生提高对数学信息的提取与拓展应用处理能力，这里面渗透的是数学的应用意识。我们看几个比较典型的例题和高考试题：

例1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )。

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

例2.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

案例分析：

例1、2解决起来都较为简单，但往往有些学生却因为害怕甚至抗拒生活题目而未能很好解决问题。这些问题都将实际生活中的问题抽象成了真实的数学问题，它们建立在统计学的概念和原理上，学生在平时的学习中只要掌握了基本的知识，把握对数学概念本质的理解，学会提取其中的数学信息，就能很好应对这种看似复杂的题目。

二、借助实际，激发兴趣

生活应用型的题目是高中数学中的重要题型与常见题型，它们与实际相联系，我们教师可以将此作为教学的切入点，以发生在学生身边的事件、生活中经常出现的物品入例，从而激发学生学习的兴趣，培育学生积极的数学情感，让学生们明白数学的最终归宿和价值，提高学习的效率和教学的效果。

例3.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β。

(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？

(2)施工完成后，CD与铅垂方向有α≥2β偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)？

案例分析：

本题看着比较容易，但是做得完美并不容易，它体现的是一定数学能力的要求。三角问题和实际问题的结合逐渐走向高考的舞台。在考查时，它将生活实际为依托，考查的本质却是不变的。所以在教学过程中，不能闭关自守，而是要引导学生关注生活，扩大知识面，从而提高他们的数学综合素质以及应用能力。

三、设置新境，鼓励创新

新的课改理念中最突出的一条就是培养学生的学习能力，在平时的教学中我们的教师对创新性的问题应更多关注，并引导学生在这类题目上多下功夫，只有这样才能做到熟能生巧、胸有成竹。我们看一个具体的实例：

例4.在平面直角坐标系xoy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0，则称点P1，P2被直线l分隔。若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线。

(1)求证：点A(1，2)，B(-1，0)被直线x+y-1=0分隔；

(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

(3)动点M到点Q(0，2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线。

案例分析：在本题中它给了一个新的定义，这个形式看似很新，但本质还是考察解析几何，只有学生抓住这一点，才能利用新概念解决相应的问题。在这整个做题的过程中实际上学生需要进行：阅读——理解——分析——应用的过程，这是一个比较全面的学习过程。尤其是第三小题是存在性和唯一性证明问题，它对思维的严谨性有比较高的要求，是个难点。因此，在平时的教学中我们不能忽视新的题型，但一定要打好基础，这样才能以不变应万变。

四、注重综合，引导探究

培养学生的理性思维是数学教学的一项重要任务。结合数学学科的特点，一些试题的解答不仅仅依赖于记忆性的知识，更需要学生深入的分析。这些试题鼓励学生对一些概念的实质进行必要的分析，并把一些直观的对象以理性的方式表达出来。所以在平时的教学中我们要鼓励学生们理解数学概念的本质及其关联，养成理性的思维习惯，提高分析问题解决问题的能力。

(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

(3)若a1，a2，…，a100成等差数列，求数列a1，a2，…，a100的公差的取值范围。

案例分析：

这是一道数列综合问题，它仍然立足等差与等比两个最基本的数列，强调将知识点融会贯通的综合能力，它表述非常直接，直接说明是什么数列，引进新概念后，对指定数列的函数性质做了全面的考查和深刻的探究，综合运用到不等式的求解、函数的最值、恒成立等问题的解决方法。因此，在平时的复习教学中，我们要逐步养成学生们研究问题的习惯，通过把经典问题引申、推广等，进行研究性训练，并使学生学会从反面去思考问题，把问题分析透彻，解决彻底，真正提高思维水平。

总之，在数学教学和复习中，我们的教师要注重方法的灌输和能力的培养。不仅要让学生掌握课本中的每个知识点，还要引导学生在学习时要做到“入脑，走脑”，引导他们多分析，多设疑，只有对于每章节的知识学扎实了，才能应对数学的学习。

[1]申磊.浅谈高中数学教学中如何培养学生分析问题和解决问题的能力[J]，学园，2012，(04).

[2]柳笛.高中数学教师学科知识的案例的研究[D].华东师范大学，2011.

[3]韦崇裕.高中数学教学中培养学生问题意识和提问能力的研究——课堂教学中学生发现问题与提出问题的能力培养与训练[J].新课程，2014，(05).