不等式的恒成立问题研究

◆陈维正

(沈阳市第二十中学)

不等式的恒成立问题研究

◆陈维正

(沈阳市第二十中学)

不等式恒成立问题是贯穿整个高中数学的内容，也是高中数学的重点和难点，题目形式变化多端，解法也灵活多变。通过对不等式恒成立问题的梳理，把高中阶段涉及到的题型和方法做了归纳总结，并就容易犯错的地方做了提醒和分析。

不等式 恒成立 数形结合

一、不等式恒成立问题的形式

我们看看2008年上海高考试卷上的一道题，也是最常见的不等式恒成立问题，描述是这样的，已知函数：

这里都是不等式在区间上的恒成立问题，我们有时还会遇到更简单一些的形式，我们称为一般的不等式恒成立问题，还是以这个例子做一些改编：

综合上面所有形式我们发现，不等式恒成立问题都可以这样理解：不等式的解集是集合D的子集，我们就说不等式在D上恒成立。这个D可以是一个区间，也可以是整个实数集合R。

二、不等式恒成立问题的处理方法

1.图像法(数形结合思想)

对于不等式恒成立问题，我们可以把不等式看成是函数值恒大于(小于)某个数值，也就是函数图像在某条平行于x轴的直线上方(下方)，这样可能有比较方便的方法。

这个方法适用两种题型：二次不等式在R上恒成立问题和两不等式恒正(负)的问题。

(1)二次不等式在R上恒成立问题

(2)两不等式恒正(负)的问题。

这类题型不是很常见，但是在2012年浙江的高考题里面出现过一次，作为填空的压轴题，当年这道题得分率很低，很多同学都不理解题目的意思。我们一起来回顾一下这道题：

2.最值法(化归与转化思想)

最值法的原理与下面两个命题成立有关：

最值法有两个分支：①直接求最值法；②分离参变量求最值法。

(1)直接求最值法

根据上面的两个命题，所有的不等式恒成立问题，都可以转化成求函数的最值问题，求函数的最值我们有非常多的方法：单调性、导数、不等式，等等。高中接触最多的是二次不等式的求最值问题，也是一个难点，我们以一个二次不等式的例子说明：

例1.关于x的不等式x2+mx+6m<0的解集包含区间(1，2)时，求实数m的范围。

分析：这道题是我们前面描述过不等式恒成立问题中的一种，出现不等式解集包含另一个集合问题就是恒成立问题。我们这里采用求最值的方法求解。

点评：这道题是二次不等式的恒成立问题，由于是在区间上恒成立的，不能采用前面的判别式法。同样，也不能采用后面描述的分离参变量法，基本上只能使用最值法。

(2)分离参变量法

直接求最值的方法固然是万能的，但是函数解析式里面有参数的情况下求最值是不容易的一件事情。很多时候需要分类讨论，加上大量的字母运算。如果能把参数和变量分离开来，这个问题就解决了。

三、恒成立问题解答的常见错误

通过对前面恒成立问题的分析，我们掌握了基本的方法和套路，但是这些方法在使用的过程中容易受到一些题目条件的影响。下面列举几种常见的错误：

1.原理性错误

2.边界性错误

前面那道例题已经说明了，在不等号取不取等号的问题上，大家要多注意。如果函数的最值是取不到的，那么这个不等号可以加上等号。另外，如果区间是开的，也就是自变量是取不到的，那么在边界处也是可以取等号的。其它情况，根据原来不等式符号决定是否取等号。

[1]张世林，郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].数学教学研究，2006，(12)：27-30.

[2]刘卫东.一类不等式恒成立问题的错误解法[J].数学通讯，2008，(13).

[3]张鹤.用分离变量法解含参数的不等式恒成立问题[J].高中数理化，2006，(01)：18-19.

[4]李新星.含参数不等式恒成立问题[J].数学教学通讯，2011，(32)：28-29.