让学生的思维走得更远

赵绪昌

[摘要]得出答案并不是解题的最终目的，教师应让学生学会思考，逐渐提高解决问题的能力，这就需要教师在教学的过程中善用“问”的艺术，辅助学生走出思维误区，本文结合案例详细阐述了如何发展学生的思维.

[关键词]问；思维；多角度；深层次

叶圣陶先生说：“教师之教，不在于全盘讲授，而在于相机诱导.”所谓相机诱导，也就是适时点拨，促使学生思维参与，取得良好的教学效益.在数学课堂教学过程中，教师要敏锐地捕捉到教学的信息并进行迅速、深入地加工、重组、提炼，以促使学生思维品质得到不断提升.提问是课堂教学经常采用的一种教学手段，其目的是引导学生深入思考，创造性地完成学习任务.但是，学生往往缺乏多方位、多角度、深层次的思考，思维会处于停滞状态.这时，就需教师善于运用“问”的艺术，尤其是运用“追问”来激活学生的思维，启发、引导他们更有深度、广度地思考，不断推动思维的发展.哈佛大学尼普斯坦教授提出了追问时尽可能做到十个字：①假：就是以“假如……”的方式提问；②例：即多举例；③比：比较知识和知识间的异同；④替：让学生多想有什么可以替代的；⑤除：“除了……还有……”；⑥可：可能会怎么样；⑦想：让学生想多种多样的情况；⑧组：把不同的知识组合在一起会如何；⑨六：“六何”检讨策略，即为何，何以，何事，何处，何时，如何；⑩类：多和学生类推各种可能.

案例1 “平面直角坐标系概念”的教学片段，

平面直角坐标系概念的引入可以从学生熟悉的生活经验人手：“你去过电影院吗？还记得在电影院是怎样找座位的吗？因为电影票上都标有‘x排x座的字样，所以找座位时，先找到是第几排，再找到是这一排的第几座就可以了，也就是说，电影院的座位完全可以由两个数确定下来.”

对于这类直接源于生活的教学情境，不能仅仅停留在原有的生活经验上，必须对其进行提升，体现其数学本质，让学生在“数学化”的思考活动中建构数学，获得有价值的数学活动经验，否则，学生即使能在电影院中找到自己的座位，也未必知道此时的坐标原点和坐标轴在哪里，在后续教学的过程中，还可以设计各种问题，例如，“坐标原点如何选取？唯一吗？”“坐标轴如何确定？”“在你建立的直角坐标系中，横坐标相同的同学的位置有什么特点？纵坐标相同的同学的位置有什么特点？”“两个坐标都是负数的同学的位置在哪里？”等，上述问题的认识过程就是“数学化”过程，当学生认识到平面直角坐标系所描述的不仅仅是点的位置，还可以用来表示数学图象时，就会思考：既然坐标平面内的点可以用有序实数对来刻化，那么将一个图形放到直角坐标系中，是否也可以用代数的方法来描述呢？这样，学生在学习过程中就会获得体现数学本质的活动经验.

案例2在学习了九年级（下）“圆的有关性质”后，笔者出示了这样一道题：△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠A=30°，BC=3，求圆O的半径.

（学生们看了一遍题目，多数便在下面嚷开了：太简单了！这不就是简单的解直角三角形吗？）

师：如何解答？

生1：由AB是圆O的直径，知△ABC是直角三角形.因为BC=3，∠A=30°，所以AB=6.即圆O的半径为3.

师：若上题中AB不是圆O的直径，其余条件不变，那么圆O的半径还会是3吗？

生2：AB不是圆O的直径，当然不能解直角三角形了，所以圆O的半径不会是3.

师：想一想，这个圆中会不会有上题中那样的直角三角形出现？

（学生试着过点A、过点B或过点C画直径，直至发现圆O的半径还是3.）

生3：作直径A'B，连接A'C即可.（一脸兴奋）原来一样！

师：若没∠A=a，BC=a，则圆O的直径是多少？

（此时学生有了上面的经验，不难得出圆O的直径2r=a/sina ）

师：同学们就以上问题作一小结：（1）通过上述问题的解决过程，你学到了哪些方法？（2）从这三个问题中，你发现了什么？

案例中，笔者没有对数学问题浅尝辄止，而是通过适时诱导，以一道题目为载体，通过变换条件，透过现象抓住本质，使学生达到“解一题，会一类”的目的，避免了数学教学中的“题海”战术，提高了学生的思维水平，真正做到了“减负增效”.

案例3如图l，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥CD，AB=I，AD=2，CD=4，则BC的长是______.

过B点作AD的平行线交DC于点E显然，BE⊥DC.因此四边形ABED为矩形，对应边相等，据此可得BE=2，EC=3，根据勾股定理计算出BC的长为 .

当学生计算出结果后，教师要追问：“这样作辅助线是如何想到的？”以此逼迫学生思考作辅助线的依据：在一个直角梯形中，作一条辅助线构造出矩形，就可以找到很多相等的量，将已知条件集中.同时，构造出含有所求线段的新的直角三角形，目的是运用勾股定理求得，同时，继续追问：“所作辅助线与梯形原有线段有什么关系？”让学生从多个角度思考所作辅助线：既是原有梯形的高，也可以看作是边AD的平行线，还是平移AD边的结果.既为学生形成经验奠定基础，也为后续的析离方法埋下伏笔，

通过这样的追问和思考，学生不难发现，解决此题的切人点就是作辅助线，目的是将分散的三条边进行集中.关键是通过B点作AD的平行线（当然也可以理解为平移AD至BE，还可以说是过B点作梯形的高）.至此，学生就会形成做这种题目的经验：选取恰当点作辅助线.

案例4在一次调研活动中，笔者听取了某小学四年级的数学课，一位教师的讲课内容（北师大版四年级下册第33页第3题）如下：

拼一拼：下面哪两个图形能拼成长方形、平行四边形、梯形？剪下附页2图3中的图形试一试，

教师在上课之前让学生剪下了图形，展示题目之后，让学生动手拼长方形，大约40秒后，进行汇报，学生得出①和⑥、④和⑨、⑤和⑥、①和⑤可拼成长方形，有学生得出①和⑦、⑥和⑨也可以，有学生质疑，师生共同操作，结果显示不能拼成长方形，教师：“能拼成平行四边形的有哪些？”学生得出②和③.教师：“我们学习了长方形是特殊的平行四边形，所以四组长方形的组合也可以拼成平行四边形.”教师：“现在给2分钟的时间，看哪两个图形可以拼成梯形.”学生动手操作，汇报结果有②和⑥、⑦和⑧、①和②、①和③、③和⑥、⑥和⑦.还有学生得出①和⑦，有学生表示质疑，师生验证，结果不能拼成梯形.endprint

观察这位教师的教学，学生能正确得出长方形、平行四边形、梯形，表明已掌握了各种图形的概念、特征等相关知识，教学达到了巩固、理解知识的层面.在此基础上，是否促进了学生思维的发展？这位教师在课堂中给予学生动手操作的时间和机会，学生通过摆、拼等活动发现了不同图形之间的组合，符合学生的心理发展特征，并且有些引起争论的问题在实物操作中也很容易得到解决，易于学生的理解.“操作活动仅仅是思维活动的中介平台，学生进行操作活动的目的之一是为了能够进行进一步脱离实物控制的抽象的思考和想象，”由此看来，这位教师因认识不到空间观念、空间想象能力、推理能力、抽象能力等因素而缺失对相关内容的设计，使教学只停留于“拼”的环节，又不免流于表层，浅尝辄止，没有引导学生从形象思维过渡到抽象思维，只具有动手操作、主动探究的“形”，而缺少对操作结果进行抽象、归纳、总结，缺失对学生思维进行有目的的提升.仔细推敲，这道题蕴含的知识和能力因素主要有以下几点.

（1）让学生在“拼一拼”等动手操作活动中体验不同图形之间可进行组合、分割等转化，加深对图形的理解和认识，也为以后分解不规则图形作好铺垫.

（2）拼成的图形是不是长方形等，关键是要符合各种图形的概念和特征，从而在变式练习中达到对知识的复习巩固.

（3）借助直观的图形，通过动手操作，帮助学生的思维从形象过渡到抽象，促进学生空间观念、空间想象能力、抽象能力、推理能力等多方面的发展.

（4）动手拼图形、组合不同的图形需要按照一定的顺序才能做到不重不漏，在习题中引导学生掌握“有序”的思想方法，锻炼思维的严密性，

笔者设计了以下步骤以期能够达到预想的目标.

第一步，观察一猜想.引导学生先观察图形，进行空间想象，猜想哪两个图形可以拼成长方形、平行四边形、梯形，记录下来，并进行汇报.鼓励学生进行合情推理，努力发散学生的思维和想象能力.

第二步，操作一验证.动手拼一拼，验证自己的猜测，同时也检验一些有争议的组合是否成立，在整个活动中，教师还应鼓励学生进行新的发现，在拼的过程中，引导学生按照一定的顺序进行，把“有序”的思想方法贯穿其中，

第三步，归纳一抽象.从具体实物走向抽象概括，引导学生归纳出长方形、平行四边形、梯形的不同组合状态，并能用语言准确清晰地表述，实现从具体图形到抽象思维的发展.在抽象概括、归纳总结的过程中，努力做到不重不漏、有理有序，在这一过程中再次锻炼学生的空间观念、想象、推理等能力，

案例5“分式”的教学片段.

“分式”的教学，大多数教师在学生归纳总结出分式的概念后，就进行大量的练习，而一位教师在学生归纳总结出分式的概念后，提出问题： 对于分式 ：

（1）选择一个你喜欢的x的值，求分式的值；

（2）当x取什么数时，分式有意义？

（3）当x取什么数时，分式的值是零？

问题（1）的目的是让学生在活动中体验到这里的字母可以取正数，也可以取负数；可以取整数，也可以取分数；同时通过这个活动，让学生体验分式中的字母能取的数是有一定的限制的，如这里的x不能取1，从而使问题（2）和（3）的解决顺理成章.

然而，没有教师的必要引导，学生很难给出“0”或“负数”的例子，如果就学生给出的几个简单的正整数，匆匆结束，那么这个活动的价值就无法体现，活动也等于虚设，这时教师的必要引导就显得格外重要.如教师可以这样引导：还有很多数字在我们的身边，而我们却没有察觉到，你能联系问题中“你喜欢的x的值”，再说一些不同的数吗？

在解决了前面的问题之后，如何让学生在活动中体验“x≠1”并保持问题的探索性，就需要教师设置一些问题引导学生讨论，增加师生互动.

比如可以设问：老师也喜欢一个数，因为它是我的幸运数，你们能猜出来吗？

（学生猜想，教师注意课堂的变化.当学生猜不出时，可以揭示答案：我喜欢的是“l”，因为我出生在1月，这样的回答，引起学生的思维冲突，以利于下一步问题的解决.）

生：x不能取1.

师：如果x取1，结果会怎么样呢？

生：会使分式无意义.

师：要使分式有意义，x应满足什么条件？

同时多媒体出示：

（2）当x取什么数时，分式有意义？

（3）当x取什么数时，分式的值是零？

虽然只是几句简单的对话，但已经体现了学习的目的，学生在学习中体验到了分式中字母的取值可以是有理数，也可以是无理数，但使分式有意义是前提条件，突破了本课的难点，发展了学生的思维能力.

张奠宙先生指出：数学课堂教学就是要把冰冷的美丽变为火热的思考，在火热的思考中，进行抽象的概括，透过事物的表面现象，洞察事物的本质，把握问题的核心，认识其发展规律，并掌握其应用途径.在课堂教学中，引导学生理解问题的实质，看透问题的本质，追根溯源，从而优化学生的思维品质，切忌以为找到答案，问题就已解决，殊不知仅仅找到答案，只是问题解决的基本要求，这不是问题解决的最终目标.因为求出答案后不能把题目所隐含的数学内容的实质全部揭示出来，就等于在原有的思维水平上简单重复、原地踏步而已，所以，教学中不能只停留在对基础知识的理解和运用层面，还应充分发挥提问的作用，让提问提高教学质量、提升教学品位，开启学生智慧，演绎课堂精彩！endprint