摸出的精彩

侍然

“摸球试验”是古典概型的典型代表.很多中考试题常常是以摸球问题为原型，将条件或结论适当地改变、引申、重组，命制出精彩的试题.下面就一道有关摸球试验的课本例题进行变式研究，让同学们从不同角度、不同层次认识概率.

课本例题（苏科版《数学》九上第136页例4）

一只不透明的袋子中装有1个白球和两个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、摇匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.

解：把两个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的.“两次都摸到红球”有4种可能，所以P（两次都摸到红球）=.

【方法归纳】当试验结果分为2步，但所有等可能出现的结果数较大时，运用“表格”较为清晰、便捷；当试验结果分为3步时，则一般运用“树状图”列出所有等可能出现的结果求解.

变式一：求两次摸到同样颜色球的概率.

变式二：如果第一次摸出的球不放回，那么两次都摸到红球的概率是多少？

【分析】变式一只需从表格中找到两次摸到同样颜色球有5种可能.所以P（两次都摸到同样颜色球）=.

变式二属于“不放回”的情况，先列出表格为：

所以第一次摸出的球不放回，两次都摸到红球的概率==.例题与变式二区别在于前者是“放回”，后者是“不放回”，要注意它们列出表格的不同点.如果条件是“一次摸两个球”，这里虽然没有明说是放回还是不放回，但是我们也应做不放回处理.

变式三：有甲、乙两个不透明的布袋.甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和-2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1、0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记下小球上的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）.

（1） 请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

（2） 求点P在一次函数y=x+1图像上的概率.

【分析】变式三由原来单一地求概率到利用概率知识与方程、函数等其它知识相结合的综合性问题，考查了解决综合问题的能力.

解：（1） 画树状图：

∴点P所有可能的坐标为：（1，-1）、（1，0）、（1，2）、（-2，-1）、（-2，0）、（-2，2）.

（2） ∵只有（1，2）、（-2，-1）这两个点在一次函数y=x+1的图像上，

∴P（点P在一次函数y=x+1的图像上）==.

变式四：一只不透明的袋子中，装有两个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.

（1） 小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的.你同意他的说法吗？为什么？

（2）搅匀后从中一把摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率；

（3）搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？

【分析】变式四中第（1）题有的同学会只考虑球的颜色而忽略球的的个数，认为摸出白球和摸出红球是等可能的.第（2）题容易忽视“一把摸出两个球”这一条件，它实质属于“不放回”的情况，不少同学往往因分析失误，就会对可能出现的结果数判断出错，从而造成解题出错.第（3）题既考查概率意义，又考查同学们灵活运用概率知识设计方案的能力.

解：（1） 不同意小明的说法.

因为摸出白球的概率是，摸出红球的概率是，因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.

（2） 树状图如图：

∴P（两个球都是白球）==.

（3） 方法一：设应添加x个红球，

由题意得=，

解得x=3（经检验是原方程的解）.

方法二：∵添加后P（摸出红球）=，

∴添加后P（摸出白球）=1-=，

∴添加后球的总个数=2÷=6，

∴应添加6-3=3（个）红球.

答：应添加3个红球.

有关以“摸球”为背景的概率题目是我们比较熟悉的常见问题.学习过程中同学们要对这些典型问题反复进行一题多变的训练，既可以增长知识，又能培养思维能力.同学们要注意积累经验，提高能力.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）