几何直观在小学数学教学中的思考

张延民

本文系山东省小学数学重点课题研究性成果，课题名称：“几何直观”在教学中的实践与研究，课题立项编号：2014ZD0135.

一、对几何直观的概述

引子：“在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高”.大多数学生对这段文字可能不解其意，但教师当在三角形里作出了高，大家看到了图就会说，“原来就是这样的线段”，即使学生已经理解了三角形的高的定义，但是在头脑中存储的，不是那定义，仍然是那图形——这就是几何直观. 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知. ”《课程标准（2011版）》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题. 几何直观所指有两点：一是几何，这里主要是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托看到的东西进行的数学思考和想象.

一般认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定式. 通俗地说几何直观，就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法. 几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处.

二、几何直观与数形结合的关系

数形结合与几何直观，区别到底在哪里？数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”，如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用. 几何直观就是用“形”来解决数学问题，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已. 几何直观这个“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以是大脑想到的，更重要的是，它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知.

例如：在学习“同分子分数大小比较”时，因为知识相对比较抽象，学生较难理解. 此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）几何图形的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理. 学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生具备了几何直观的能力，并且很好的运用了数形结合思想.

三、如何发展学生几何直观能力

（一）让学生主动获取对图形的认识. 要善于运用“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念.

例如：在学“有余数的除法”时，用11根小棒来摆△，可以摆几个？还余下几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再动手画一画，看看和脑子里想的是不是一样？然后用算式表示出来. 通过直观的图形，学生了解了余数的含义，知道了为什么余数一定要比除数小的道理，并且还能正确的书写算式. 再如：学习长方形、平行四边形、三角形、梯形、长方体、圆、椭圆、圆柱体、圆锥体、球体认识等，可以借助计算机、七巧板、木棒等辅助的实物直观演示，引导学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念.

（二）重视画图、识图，鼓励用图形表达问题. 在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，让同桌之间互相纠正，比一比谁画的更好、更认真、标准，在彼此纠正后再次巩固基本的画图方法，一举两得. 其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维.

例如：植树问题中，借助线段图向学生直观展示非封闭路线植树相关概念和类型（间隔、间隔数、两端要栽、只载一端、和两端不栽）；再如：借助集合圈，直观的解释四边形之间的关系和三角形的分类，渗透集合思想的同时，让学生形象、直观的理解基本图形之间的关系.

（三）化静为动的方法. 一是让学生感受图形的变换. 二是把静止的数量关系转化为可见的图形.

例如：平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个整体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质（对边平行且相等）；再如：圆面积公式的推导，让学生经历圆面积公式的形成过程，利用几何直观帮助学生理解圆面积与圆半径之间的数量关系，课堂效益卓见成效.

（四）利用多媒体信息技术. 多媒体技术除了给学生展现丰富多彩的图形世界外，也多了一条解决问题的途径.

例如：在“认识直线”教学中，通过多媒体演示，直线是将一条线段的两端无线延长所形成的图形，这样利用多媒体化虚为实、化抽象为具体、化模糊为清晰、化静态为动态的特殊功能为学生的学习提供了直观例证，充分调动了学生多种感官的协同参与，不仅给学生渗透了极限思想，而且丰富了学生的几何直观.

四、运用几何直观应注意的问题

（一）要把握应用范围. 几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题.

（二）要合理运用几何直观. 在运用几何直观时，必须考虑到怎样由具体过渡到抽象，直观手段在教学的哪一个环节上将是不再需要的，几何直观应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去.

（三）要准确运用几何直观. 在运用几何直观的实际教学中，许多学生往往由于画图不准确、讨论不全面、理解片面等原因导致出错，或有一定的误差干扰，失去数学问题原有的科学性与严密性. 因此教学中应让学生掌握画图技巧，准确运用几何直观解决问题.

总之，几何直观可以帮助学生直观地理解数学本质，开发学生的创造激情，形成良好的思维品质，要让简约的几何直观真正充满张力，成为师生生命成长的栖息地，还需要我们在今后的教学实践中不断地思考和探索.