基于外加电流源研究梯形网络的等效电阻

胡菊菊， 柯 强， 嵇英华

(江西师范大学 物理通信电子学院， 江西 南昌 330022)

基于外加电流源研究梯形网络的等效电阻

胡菊菊， 柯 强， 嵇英华

(江西师范大学 物理通信电子学院， 江西 南昌 330022)

本文将线性空间的不动点理论与施加双外加电流注源法相结合，在探索研究网孔电流的递归表达式的基础上，给出了一种求Z×N级梯形电阻网络输入端任意两节点间等效电阻的简捷计算方法。该计算方法对计算平面电阻网络的等效电阻不仅有通用性，而且更加方便灵活。

阶梯形网络；差分矩阵；等效电阻

0 引言

梯形电阻网络在工程实践中有不少的应用，是一种重要的物理研究模型。文献[1]根据基尔霍夫电路定理，应用支路电流法与矩阵变换，求解了2×N阶梯形电阻网络的等效电阻。由于文中选择了支路电流作为参变量，导致推导过程有些繁琐。文献[2] 通过考虑电桥平衡，给出了2×N阶梯形电阻网络的等效电阻，方法比较简便，但解法的通用性受到一些限制。

众所周知，对于平面电路，将网孔电流作为参变量，可以减少方程的数量，从而大大地简化运算。本文基于不动点理论，应用双外加电流源法，给出了求解2×N梯形电阻网络等效电阻一种新的通用且简便的方法。

1 模型与网孔方程

研究图1所示的2×N阶的梯形电阻网络，图中电阻r、r0与r1均为N个。

图1 2×N阶梯形电阻网络

采用网孔电流法可以很方便地求解每一支路的电流与电压。此外，根据电路理论，计算端口的等效电阻可以采用外加电流源法。

在图2中，我们将电路网络拓展为2×(N+1)阶，最左侧网孔的电流即为外加电流源，外加电流源电流记为Is1与Is2。为计算方便，图2中假设位于上面一层的网孔电流为I↑mk；位于下面一层的网孔电流为I↓mk(k=1,2,…,N+1 )；每一个网孔电流的绕行方向均取为顺时针方向。

图2 外加双电流源求解2×N阶梯形电阻网络

针对虚线框中第k列的上、下二个网孔，列出网孔电流方程为

(2r0+r+r1)I↑mk-r0(I↑mk+1+I↑mk-1)-rI↓mk=0

(1)

(2r0+r+r1)I↓mk-r0(I↓mk+1+I↓mk-1)-rI↑mk=0

(2)

对上面两个方程进行和与差的重新组合，得到：

(3)

式中

方程式(3)为一个差分矩阵方程。根据不动点理论，该差分矩阵方程对应的特征方程为

x2-ax+1=0

(4)

y2-by+1=0

(5)

两组特征根(x1,x2)、(y1,y2)分别为

(6)

(7)

2 电流的通项公式

由方程式(3)-式(7)，容易得到第k列上下二层网孔电流和与差的通项公式

(8)

(9)

式中

(10)

利用广义的基尔霍夫节点电流定理

(11)

(12)

容易得到如下关系式：

(13)

(14)

(15)

(16)

联立求解方程式(13)-式(16)，得

(17)

(18)

容易得到在外加电流源作用下，通过图1第一列上下支路电流为

(19)

(20)

3 梯形电阻网络的等效电阻

由式(17)-式(18)，应用外加电流源法，可以非常容易得到任意端口上的等效电阻

(1)对端口a-b，令Is2=0，有

(21)

(2)对端口b-c，令Is1=0，有

(22)

这正是文献[1]给出的结果，也包含了文献[2]给出的电桥平衡下的结果。通过选择网孔电流为参变量，施加双外加电流源，使得解法更具有通用性，处理问题更加方便灵活。显然，如果要计算图1右侧相应点的等效电阻，根据对称性，应有Ra′b′=Rab，Rb′c′=Rbc。如果要计算上(下)边相应两点间的等效电阻，也可采用类似的外加电流源法进行推导。

4 结语

本文应用不动点理论，给出了2×N阶梯形电阻网络等效电阻的一般分析方法。从前面的分析计算过程可以看到：选择网孔电流为参变量，在待求端口施加外加电流源，可以方便地给出端口处的等效电阻。整个求解过程思路简捷清晰，对同类型的平面电路具有通用性，且能够推广应用于平面的正弦稳态电路。

[1] 谭志中, 罗礼进. 2×n阶电阻网络等效电阻的再研究[J]. 南通: 南通大学学报(自然科学版)，2010，9(1):86-89

[2] 刘松山. 基于对称性研究2×n阶梯形电阻网络等效电阻[J]. 北京: 大学物理， 2015, 34(1):26-29

Equivalent Resistance of Ladder Resistance Network Based on External Current Source

HU Ju-ju， KE Qiang， JI Ying-hua

(CollegeofPhysicsandCommunicationElectronics,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330022,China)

This paper investigates the recursive expressions of mesh current based on fixed point theory of linear space under double external current source, and proposes a simple method to solve the equivalent resistance between arbitrary two input nodes of a Z×N ladder resistance network. The calculation method is general and simple.

ladder network; difference matrix; equivalent resistanc

2015-11-05;

2016-04-06 基金项目：江西省高等学校教学改革研究课题(JXJG-14-2-30)

胡菊菊(1979-)，女，博士，副教授，主要从事通信工程专业课程教学与激光混沌的研究工作,E-mail:jxnuhjj@126.com

O441

A

1008-0686(2016)05-0050-03