“学”的最高境界是“会学”

任勇

初为人师时，我不太清楚怎样才能教好数学，当时的想法是设法让学生感到数学有趣，数学“好玩”，后来发现，仅仅“好玩”层次低了些，还要尽力“玩好”。如何才能让学生“玩好”数学呢？在数学教育被异化的当时，许多教师的做法相对简单，那就是强化训练，“题海”无边。我试图改变这种状况，但又无法回避“一定训练量”这一数学教学现实，于是在“题根”上进行探索，取得明显的成效。但数学的学习，远不只是“做题”，还涉及数学概念、数学命题、数学能力、数学方法和数学文化等的学习和领悟，“题根”之探，让学生更易“学会”，略懂“会学”，但真正的“会学”还有很大的探索空间。于是，我又走进“让学生会学数学”的这个

“探域”。

一、从“好玩”到“玩好”

“好玩”就是“引趣”，让学生感到学习十分有趣，这是学习的原动力;“玩好”就是“引深”，让学生不断钻研深入探索，这是学习的内驱力。

要让学生感到数学有趣，我当时的做法是从“每课一趣”开始。每节课上都有一道以上的趣味数学题，或是数学游戏，或是数学智力趣题，或是趣味数学故事。有时在开讲时讲，有时在课末时讲，有时渗透在课中讲。趣题可以和所学内容有关，也可以与所学内容无关。趣题一般不超纲，也可以适度超一点。趣题宜自然融入，力求起到引发兴趣、激活思维、活跃课堂之效。

我们先看一个例子：设想用一根仅比赤道周长多出1米的铅丝围成一个同心圆，凭直觉，同学们能否迅速地判断一下：此时我们的拳头能否从赤道与铅丝的空隙处

穿过？

直觉告诉我们，1米与赤道周长相比，简直微乎其微，几乎可以忽略不计。赤道与铅丝之间，别说是拳头，就连一根铅笔也很难通过。

我们的判断正确吗？

让我们算一算吧！

图1是一个同心圆，OA表示地球半径r，AB表示赤道与铅丝之间的空隙。赤道长为2πr米，铅丝长为（2πr+1）米，于是空隙宽度：

（米）

哇！有宽度为16厘米的空隙，我们的拳头当然能穿过。

如此看来，有些数学现象，我们可以预先料及;有些数学现象，我们如果只凭直觉，往往结果难以预料，甚至会让我们“出丑”。

现在看来，这“每课一趣”，就是“好玩”。

初为人师的我，没有什么数学教学经验，但学生的学习成绩却不错，多半是源于我的“每课一趣”。但如果年级出的试题稍难一点，或有些创新题出现，我班的成绩就不会那么突出。我悟出“仅有好玩是不够的”，还要“玩好”。怎么“玩好”呢？我当时的做法是“每日一题”。就是每天出一道数学征解题，供学有余力的学生选作。征解题可以是课本问题的拔高，可以是身边的精彩数学问题，可以是切合时宜的数学趣题。多数学生对每日一题也很感兴趣，哪天没有给出征解题，学生就会“若有所失”。征解题也可以由学生先提供给我，我简单评判或修改后，署上学生的名字公布。

现在看来，这“每日一题”，就是“玩好”。

当数学教师不容易，“数学好玩”要求我们“深入浅出”，而“玩好数学”要求我们“浅入深出”。从“数学好玩”到“玩好数学”，我们共同努力，共同走向“玩转数学”的境界。玩转数学，谈何容易！需要数学教师坚持研修，把握好数学的横向联系和纵向深入，把握好数学的趣味性和拓展性，结合学生实际，将数学的“好玩”和“玩好”，像知时节的“好雨”适时润入学生的心田。

从某种角度说，“好玩”是数学的学科之美、形式之美、外在之美;“玩好”，是数学的发现之美、思维之美、探索之美。值得注意的是，“好玩”是要让所有学生都能感受到的，“玩好”就不能要求所有学生一定都达到，这里有一个“度”的把握。“好玩”是一种境界，“玩好”是略高一层的境界，而在“好玩”与“玩好”之间把握好“度”就是一种理想的境界。

二、从“题海”到“题根”

“问题是数学的心脏。”学习数学，关键之一是学会解题。解题教学是数学教师的基本功，解题是数学教学中的“微观艺术”，任何艺术的精彩之处和感人之处，也许就在这“微观”之中。

例题教学是帮助学生掌握概念、定理及其他数学知识的手段，又是使学生掌握数学思想、方法，形成技能技巧及培养学生数学能力的重要手段。奥加涅相说得好：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……从解本题到独立地提出类似的问题和解答这些问题，这个过程显然在扩大解题的武器库，学生利用类比和概括的能力在形成;辩证思维、思维的独立性以及创造性的素质也在发展。”数学教育家波利亚也认为，一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适當选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理

能力。

基于上述理念，我研究借“题”发挥问题，当时还没有“题根”一说，我就是设法寻找这样的“题”。它尽可能地有多种解法，尽可能地有多种“变式”，尽可能地有多种用途。如果这道题的“背后”还有数学文化故事，那就更好了。以一道题为例，借题发挥，探索一题多解、一题多变、一题多用的价值，以期培养学生学会从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，培养创新意识和创新能力。这样的“题”，就是现在许多数学教育专家所说的“题根”。

我们看一道当时课本中的题：已知a、b、m∈R+，且a

先说“多解”的价值。

一道数学题，由于思考的角度不同，可得到多种不同的思路。广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探察、探索、思维的能力。

我引导学生用分析法、综合法、求差比较法、求商比较法、反证法进行证明，并开玩笑地和学生说，证到此你们大概可得30分，学生疑惑而兴奋;又引导学生用放缩法、构造函数法、增量法进行证明，我说这下可以得50分了，学生“胃口大开”;再引导他们进一步研究，用定比分点法、斜率法、三角法、几何模型法进行证明，我高兴地说，你们现在可以得到70分啦！学生不甘愿地说，一题12解，才70分！我微笑着说，“解”无止境啊！学生课后还可以再探索，告诉大家，至少还有12种不同的解法，全班学生惊愕！“愤悱之情”，可想而知。

事实上，继续研究，至少还可得到用正弦定理法、相似三角形法、换元法、双换元法、综合法及放缩法、定义域及值域法、椭圆离心率法、双曲线离心率法、函数图象法、两直线位置关系法、矩形面积法、定积分法的证明。

次说“多变”的价值。

一个例题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不过解决了一个问题。数学解题教学应突出探索活动，探索活动不仅停留在对原习题解法的探索上，还应适当地、有机地对原习题进行深层探索，挖掘出更深刻的结论。这就是数学教学中的变式艺术。

变式，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法;变式，可以激发学生学习数学的兴趣，可以有效地提高学生的数学水平。

我引导学生“变啊变”，最后变成：

若ai、bi∈R+（I=1，2，…，n），且<<…<，有

。

学生感到“真过瘾！”我说：“可以胡思乱想，但要小心论证。”

发现问题，解决问题，触类旁通，开拓创新的过程，不就是数学家的思维过程吗？数学家做什么工作？就做这个工作。我们也来当“数学家”。

引申、推广，是找出一些特殊问题中所蕴含的事物发展的规律性，从而得到更广泛的新结论。这种教学设计无疑会增强学生探求未知世界的信心和勇气，使他们体会到成功的喜悦和创造性工作的欢乐。

再说“多用”的价值。

教学例题大多有其广泛的应用，这道题至少有下列应用，所有解答略。

应用1：依次写出与1之间的所有分母不大于10的分数。

应用2：（高考题）若0

A. B.

C. D.

应用3：在a克糖和（b-a）克水中，加入m克糖，糖水都变甜吗？

应用4：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地面面积。但采光的标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这比值越大，住宅的采光条件越好。问，同时增加相等的窗户面积和地面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？

應用5：（高考题）求证：（1+）（1+）…（1+）>（n∈N，n≥2）。

应用6：（奥赛题）求证： + >

。

其中，所有的字母都是正数。

“题根”是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表，抓到一个题根，就等于抓到这个题族、这个题群、这个题系。通过“题根”，往往可以清楚地掌握基本知识和方法，领悟数学问题的本质，从而有助于学生脱离“茫茫题海”。

三、从“学会”到“会学”

在教育实践中，我深深感到，一个学生要想取得优良的学习效果，单靠教师教得好、教得得法，是不行的，自身还必须学得好、学得得法。遗憾的是，在教育理论和教学中，长期以来，教学多研究教，少研究学。实践证明，忽视学，教也会失去针对性，减弱实效性。

于是，我把研究探域扩大到学生学习领域，开始系统地指导学生学习，期盼他们从“学会”走向“会学”。“学会”和“会学”看起来只是两个字的颠倒，但意义却大不相同。“学会”，只是说在学习的过程中掌握了某种知识和技能;“会学”，则是指在学习的过程中掌握学习方法，形成学习能力。

我的学习指导与多数人所说的学习指导不尽相同，我进行的是“全程渗透式学习指导”。数学渗透式是指教师以强烈的学习指导意识为前提，密切结合数学教学，把学习指导渗透到学生学习的学习计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学习总结、课外学习环节中，是提高学生学科学习能力的一种学习指导模式。强调“全程渗透”，旨在强化数学教师在教学过程中全方位、多层次、广渠道地进行学习指导渗透，让“学习指导”像无声的细雨时时润入学生的心田。

在“学习计划”方面，让学生明确制订学习计划的好处，要求他们养成制订学习计划的习惯，指导他们制订好学习计划;在“课前预习”方面，要求学生养成习惯坚持预习，教给学生预习数学的方法，检查学生预习的效果;在“课堂学习”方面，注意数学概念、数学命题、数学解题、数学思想、数学能力和数学课堂学习方法的渗透;在“课后复习”方面，要求学生及时复习巩固知识，教给学生数学课后的复习方法，检查学生数学复习的效果;在“独立作业”方面，教给学生科学地完成作业的方法，在批改作业中指导学生学习数学，在作业“再生”中提高学生学习数学的主动性、积极性;在“学习总结”方面，注意数学知识的总结、数学解题技巧的总结和数学学习方法的总结;在“课外学习”方面，指导数学课外阅读、数学竞赛、数学兴趣小组学习。

在学习指导中，教师要自觉地学习科学理论和指导学生学习的技巧。教师在“指导”中，应有所“指”，更要注重“导”，让学法真正成为学生自主学习的工具。教师在渗透和提示学法后，还要加强定型训练，同时注意迁移。在教学中，渗透学法不能急于求成，应由简单到复杂，循序渐进。教师指导应具体明了，这样便于学生操作。渗透式学习指导也不能全由教师包代，也可在教学中不断引导学生发现摸索自己的学习方法和总结他人的学习方法。

从“好玩”到“玩好”，我从“自在”走向了“自为”;从“题海”到“题根”，我从“自为”走向了“自觉”;从“学会”到“会学”，我从“自觉”走向了“自由”。因为，“学”的最高境界是“会学”。

责任编辑：孙建辉

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