双曲线中的数学思想

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双曲线中的数学思想

□周奕生

数学思想在数学中无处不在，许多数学问题的解决离不开数学思想.

一、数形结合思想

例1点（a-1，y1）、（a＋1，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若y1＜y2，则a的范围是.

解析：显然a-1＜a＋1，所以点（a-1，y1）在点（a＋1，y2）的左侧.

若两个点同在第一象限或同在第三象限，都有点y1＞y2，所以当y1＜y2时，只能是点（a-1，y1）在第三象限，点（a＋1，y2）在第一象限，故a-1＜0，且a＋1＞0，解得-1＜a＜1.

图1

点评：数形结合思想的最大优点是利用数的抽象性和图形的直观性，函数本身就是数形结合的最大平台.

二、方程思想

例2如图2，已知点A、C在反比例函数y＝（a＞0）的图象上，点B、D在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.

图2

解析：通过点A、B、C、D的坐标建立a、b的关系式后再求解.

由已知，点A、B、C、D的坐标取决于其中一点的坐标，不妨设C（1，a），

则由CD∥x轴，CD＝2，得点D（-1，a）.

由AB∥CD∥x轴，AB与CD的距离为5，得点A的纵坐标y＝a-5.

由AB∥x轴，AB＝3，

把①代入②，

整理，得-a＝a＋3（a-5），

解之，得a＝3，

所以b＝-3.

故a-b＝6.

点评：在等量关系下，如果几个变量的大小相互制约，运用方程思想是解决问题的最佳方法.

三、分类讨论思想

例3如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB、AA′、A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC、CC′、C′A′、A′A所围成的图形的面积等于（）.

图3

A.8B.10

C.3D.4

解析：由对称性及图形的直观性，易知线段AC、CC′、C′A′、A′A所围成的图形的面积等于△OAA′的面积＋△OCC′的面积＝2△OAD的面积＋2△OBC的面积（D为AA′与y轴的交点，B为CC′与x轴的交点）.

因为点C在y＝图象上，

故只需要再求k2的值即可.

连接OA′，由点A和点A′关于y轴对称可得∠AOM＝∠A′OM.又因∠AOM＋∠BOC＝90°，∠A′OM＋∠A′OB＝90°，根据等角的余角相等可得∠BOC＝∠A′OB.又因点C与点C′关于x轴的对称，所以点O、A′、C′三点在同一直线上.

因为点C在第一象限，m＜0.

当k＜0时，

当k＞0时，

所以k＝±3，k2＝9，

点评：当问题出现多种不同情形时，分类讨论不仅能够杜绝漏解现象的发生，而且可以降低问题解决的难度.