宽支座连续梁弯矩简化计算方法研究

高 鹏，黄珊珊，欧阳峰，陈 达

（河海大学港口海岸与近海工程学院，南京 210098）

宽支座连续梁弯矩简化计算方法研究

高 鹏，黄珊珊，欧阳峰，陈 达

（河海大学港口海岸与近海工程学院，南京 210098）

高桩码头纵横梁正负弯矩的最大值是工程设计中的控制因素，文章在分布弹性支承连续梁模型的基础上，提出宽支座连续梁跨中和支座的正负弯矩最大值的简化计算公式。对于不同悬跨比的连续梁，通过ANSYS对不同的支座相对宽度和相对刚性系数进行有限元模拟，根据数值分析结果确定公式中的系数。对某一高桩码头工程纵梁，将简化公式和有限元的计算结果进行对比，两者误差小于5%，说明简化公式具有一定参考意义。

宽支座；纵横梁；弯矩最大值；简化计算；ANSYS

高桩码头是普遍应用的码头结构型式之一。随着装卸设备的大型化以及码头向外海的发展，纵横梁节点处基桩的数量和桩径越来越大，桩帽也相应的越来越大，有些码头的纵横梁支座宽度甚至达到梁跨度的0.6倍左右［1］，于是就产生了支座宽度过大情况下梁的内力应该如何计算的新问题。

高桩码头一般采用平面计算方法，对于支座宽度不大的梁，以往直接将支座视作点支承进行内力计算［2］。对于支座宽度较大的梁，2010版的《高桩码头设计与施工规范》［3］提出当支座相对宽度和相对刚性系数满足表1条件时，将连续梁结构简化为弹性点支承连续梁计算，对支座处的负弯矩和剪力进行削峰处理，但未考虑宽支座对跨中正弯矩的影响；当不满足表1条件时，宽支座对连续梁的支承作用可以用支座宽度范围内近似均匀分布的弹簧来替代，类似于弹性地基，支座反力按文克尔地基模型考虑，这种假定接近于真实情况，能得到具有一定精度的计算结果，但计算过程较复杂。

另外，根据梁与支座连接处刚度的大小，有学者提出了节点域刚性连续梁法［4］和节点域弹性连续梁法［5］，以两端带节点域杆梁为计算单元；还有学者提出一种“宽支承方式”［6］，以支座范围内的梁段和跨中梁段为计算单元，这三种方法均是通过推导单元刚度矩阵，并借助计算机计算梁的内力，计算过程繁琐且合理性需做进一步探讨。

连续梁弯矩的最大值是结构设计的主要控制条件，为了寻求更加简便和实用的弯矩最大值的计算方法，对于宽支座结构，本文基于分布弹性支承连续梁模型，提出均布荷载作用下跨中正弯矩和支座负弯矩最大值的简化计算公式，并基于数学模型分析确定公式参数，经与实际工程案例有限元计算结果对比，验证简化计算公式的可靠性。

表1 按点支承的连续梁计算的条件Tab.1 Conditions of calculation based on point supporting continuous beam

1 计算模型

根据2010版的《高桩码头设计与施工规范》，对于宽支座高桩码头纵横梁，将其简化为带有悬臂的分布弹性支承连续梁，如图1所示，l为跨长；m为悬跨比，即悬臂长与跨长之比；β为支座宽度与跨长之比；K为支座的刚度系数；E和I分别为连续梁的弹性模量和截面惯性距。若在支座范围以有限个等间距布置的弹簧代替，则单个弹簧的刚度系数K0=K/n，n为支座范围内的弹簧个数。

文献［7］的研究表明弹性支承连续梁的跨数在5跨及以上时，中间几跨（跨3、4…）之间、中间支座（支座3、4…）之间的弯矩相差很小。因此，为简化研究，本文基于5跨连续梁模型（图2）进行简化计算公式推导，所得结论同样适用于5跨以上连续梁。图2所示的超静定结构，连续梁的内力与其本身的绝对刚度无关，而与梁体和桩的相对刚度有关，可用无量纲的相对刚性系数α=6EI/Kl3［8］表示。因此，该连续梁模型的内力大小与悬跨比m、支座相对宽度β、相对刚性系数α以及荷载q有关。

图1 分布弹性支承连续梁模型Fig.1 Continuous beam with uniformly distribution elastic supporting

图2 5跨分布弹性支承连续梁模型Fig.2 5-span continuous beam with uniformly distribution elastic supporting

2 弯矩最大值的简化公式

在进行连续梁的断面和配筋设计时，正负弯矩最大值是主要控制条件（下拉为正，上拉为负），而均布荷载是控制纵横梁内力的主要因素，因此本文主要针对均布荷载作用下连续梁的正负弯矩最大值开展研究。悬臂长度对均布荷载下连续梁弯矩最大值出现的位置有重要的影响，在实际高桩码头纵横梁结构中，悬臂长度通常都较小［9］，悬臂部分荷载产生的负弯矩及其对其他跨的弯矩值影响均较小，负弯矩的最大值出现在中间的某支座，正弯矩的最大值出现在边跨跨中（图3）。

图3 弯矩最大值出现的位置Fig.3 Position of the maximum bending moment

支座宽度会对支座负弯矩产生明显的削峰效果，跨中正弯矩也会因宽度的增加而减小［8］，故对宽支座连续梁的简化计算采用折减的方法，即先忽略支座宽度的影响，按照弹性点支承进行计算，再对计算结果进行相应的折减，即

式中：Mmax为宽支座弯矩最大值；Mi为假定弹性点支承情况对应支座或跨的弯矩极大值；M'为折减弯矩。

2.1 负弯矩最大值

图4为5跨连续梁（左半部分）在均布荷载q作用下的计算图示。其中，图4-a为弹性点支承的情况，图中Ni为点支承支座反力；图4-b为考虑支座宽度的情况，由分布弹性支承模型，假设每个支座下的反力由2n+1根弹簧代替，每根弹簧间距d相等，每根弹簧反力 fij相等，fij为第i个支座下的第j根弹簧，最靠近悬臂端的支座i＝1，其他依序编号。

图4 5跨连续梁简化计算图Fig.4 Simplified calculation diagram for 5-span continuous beam

假定负弯矩最大值出现在支座3的中心，利用叠加法可分别求出其在弹性点支承和宽支座支承下的负弯矩和（顺时针为正）

式中：Mq为均布荷载对支座3中心的力矩大小；lij为弹簧反力对支座3中心的力臂。若假设相同荷载下，图4-a和图4-b的各支座总反力对应相等，即

由式（7）可知，支座宽度增加，与点支承相比，分布弹性支承对支座3中心产生了额外的正弯矩N3βl/8（即折减弯矩M'），且这一正弯矩是由支座3本身贡献的，与其余支座无关。

若实际负弯矩最大值出现在支座i处，同样能得到上述结论。并且考虑到实际上支座范围内的反力并非均匀分布以及其他因素的影响，引入系数k1对求得的折减弯矩进行调整，合并常系数后得到M'=k1Niβl，从而得到支座负弯矩最大值的计算公式，关键在于确定系数k1。

为了得到普遍规律，式（8）两边同时除以ql2，得到准数

2.2 正弯矩最大值

对于正弯矩最大值，假定其出现在跨i的跨中，文献［10］是采用宽支座与点支承两种情况下的弯矩比值来折减的，即，给出了折减系数K'的计算表。K'综合考虑了支座相对宽度β和相对刚性系数α的影响。本文采用类似的方法，令k2=K'-1，则，关键在于确定系数k2。写成准数形式

2.3 k1和k2的确定

对于图2中的5跨分布弹性支承连续梁，本文利用ANSYS建立其有限元模型（图5）。梁体采用beam4单元（跨长l取1），分布弹簧采用Combin14弹簧单元，悬臂长ml=m，支座宽度βl=β，弹簧间距取1/120l=0.008 33。梁体的抗弯刚度取EI，相对刚性系数取α，则支座的竖向刚度系数K=6EI/αl3，单根弹簧的刚度系数。竖向荷载q取1。

考虑到竖向荷载下梁不会产生水平位移，故为梁体施加了水平约束；弹簧单元与梁单元连接处采用节点耦合；弹簧单元下端采用全约束。

考虑到实际工程中纵横梁的悬臂长度都较小，本文模拟了悬跨比m=0.17、0.25、0.33三种情况。结合现有码头工程实际情况，考虑支座相对宽度β为0、0.17、0.33、0.50、0.60和相对刚性系数α为0.08、0.10、0.20、0.40、0.60，得到不同组合条件下连续梁的弯矩图。

数值分析发现，连续梁跨中正弯矩最大值始终出现在边跨1的跨中，而支座负弯矩最大值出现的位置与支座相对宽度β和相对刚性系数α有关，可以分为两种情况：当α=0.08及α=0.1、β≤0.17，出现在支座2处（图6-a）；其余情况，则出现在支座3处（图6-b）。

图5 5跨分布弹性支承连续梁有限元模型Fig.5 Finite element model of 5-span continuous beam with uniformly distribution elastic bearings

图6 负弯矩最大值出现位置的两种情况Fig.6 Two different positions of the maximum negative moment

由图6-a还可发现，当负弯矩最大值出现在支座2处时，中间几个支座的负弯矩极大值相差不大，故简单起见，进行宽支座连续梁负弯矩最大值的计算时，可以假定其始终出现在支座3处。

k1和k2的值可根据数值分析的结果确定，令。对于式（9），；对于式（10），。

（1）负弯矩最大值。

表2和图7-a～7-c为不同悬跨比m下负弯矩最大值的有限元计算结果。

表2 负弯矩最大值的计算结果（m=0.33）Tab.2 Calculation results of the maximum negative moment

由图7-a，k1与β近似成一次函数关系，且不同相对刚性系数下（β，k1）几乎落在同一直线上，用最小二乘法拟合后得到k1=-0.05β+0.131。

由图7-b和7-c可知，m不同的取值对k1的影响不大，（β，k1）也近似落在k1=-0.05β+0.131上。从而，负弯矩最大值简化计算公式为

（2）正弯矩最大值。

表3和图8-a～8-c为不同m取值正弯矩最大值的有限元计算结果：

由图8-a～8-c，对于m不同的取值，（β，k2）均大致落在经过原点的抛物线附近，且不同相对刚性系数下抛物线的“陡峭”程度不同，α越大，越平坦。根据此特征，假设k2与β的平方成正比，用比例系数A反映不同相对刚性系数的影响，即k2=Aβ2。悬跨比m不同，A的取值不同。表4为不同悬跨比下由最小二乘法拟合得到的A的取值，对于其他的悬跨比和相对刚性系数，可由表中数据线性插值求得。从而，正弯矩最大值的简化公式为

图7 调整系数k1与β关系曲线Fig.7 Curve k1-β

图8 折减系数k2与β关系曲线Fig.8 Curve k2-β

表3 正弯矩最大值的计算结果（m=0.33）Tab.3 Calculation results of the maximum positive moment （m=0.33）

为了进一步研究连续梁两端悬臂对正负弯矩最大值的影响，本文补充模拟了悬跨比m=0.42、0.50和0.67三种情况，研究发现，随着悬臂的增长，悬臂端支座1的负弯矩迅速增大，靠近悬臂的边跨1的正弯矩则逐渐减小，负弯矩最大值出现在支座1处，正弯矩最大值出现在边跨1的跨中。因此，本文的简化公式仅适用于悬臂较短的情况，即悬跨比m≤0.33，高桩码头连续纵横梁大多满足这个条件。

表4 不同悬跨比、相对刚性系数A的取值Tab.4 Value of A for different ratios of cantilever to span and relative rigidity coefficients

3 算例

计算结构选取某典型宽桩帽高桩码头纵梁部分（图9）。纵梁总长为60 m，排架间距l为7 m，共有8跨，两端悬臂长为2 m，支座宽度为1.5 m。纵梁为钢筋混凝土结构EI=3.0×106kN·m2，桩的刚性系数为473 849 kN/m，相对宽度β=0.21，相对刚性系数α=6EI/Kl3=0.11，悬跨比m=0.29。考虑竖向均布荷载q=150 kN/m。

图9 某典型宽支座高桩码头纵梁示意图Fig.9 Longitudinal beam of a certain high-piled wharf engineering

建立8跨连续梁有限元模型，不考虑支座宽度时，计算结果如表5；考虑支座宽度时，计算结果如表6（自左往右分别为支座1、跨1、支座2、跨2…，对称的支座和跨从略）。

由表5和表6可知，8跨连续梁支座3、支座4、支座5处的负弯矩极值相差甚小，跨3和跨4的正弯矩极值之差也是如此，说明本文基于5跨连续梁进行分析是合理的。另外，负弯矩最大值出现在支座3处，正弯矩最大值出现在边跨1的跨中，也与前面的分析一致。

（1）负弯矩最大值。

与表6中负弯矩最大值-430.18 kN·m相比，两者误差0.67%，具有较高精度，满足工程要求。

（2）正弯矩最大值。

α=0.11，m=0.29，由表4用内插法求得A=-1.009。

表5 8跨连续梁有限元计算结果（点支承）Tab.5 Calculation results of 8-span continuous beam by FEM（point supporting）

表6 8跨连续梁有限元计算结果（宽支承）Tab.6 Calculation results of 8-span continuous beam by FEM（wide supporting）

与表6中正弯矩最大值442.92 kN·m相比，两者误差0.56%，具有较高精度，满足工程要求。

4 结论

对于高桩码头宽支座纵横梁，一般其悬臂长度较短，本文基于5跨分布弹性支承连续梁模型，在一定的假设条件下，导出了均布荷载下宽支座连续梁弯矩最大值的简化计算公式。经过有限元模拟发现，当支座相对宽度β在0～0.6，相对刚性系数α在0.08～0.6变化时，负弯矩的最大值总出现中间支座附近，正弯矩的最大值相应地出现在边跨的跨中。根据数值分析结果，得到适用于悬臂长度较短连续梁（悬跨比小于0.33）的正负弯矩最大值的无量纲计算公式：。针对某典型宽支座高桩码头纵梁，分别用简化公式和有限元对弯矩最大值进行计算，结果表明两者误差小于5%，计算精度满足工程要求，具有一定的参考价值。

本文只考虑了竖向均布荷载，对于其他荷载情况有待于进一步讨论。

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Research on simplified calculation method of bending moment of continuous beam with wide bearing

GAO Peng，HUANG Shan⁃shan，OU Yang⁃feng，CHEN Da
（College of Harbor，Coastal and Offshore Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China）

In the design of high-piled wharfs,the maximum value of bending moment of longitudinal and transverse beams is the leading factor.Based on the model of continuous beam with uniformly distribution elastic bearing,a simplified formula of the maximum value of positive and negative bending moment was put forward in this paper.For continuous beam with different ratios of cantilever to span,simulations of bearings with different relative width and relative rigidity coefficient were carried out through ANSYS finite element software.The coefficient in the simplified formula was determined by the numerical analysis results.Taking the longitudinal beam of a certain highpiled wharf engineering as an example,calculation results of the maximum value of bending moments were compared between the simplified formula and ANSYS.The error between them is less than 5%.

wide bearing;longitudinal and transverse beam;maximum value of bending moment;simplified calculation;ANSYS

TV 698

A

1005-8443（2016）01-0089-07

2015-05-20；

2015-09-15

高鹏(1992-)，男，江苏南通人，硕士研究生，主要从事港口与近海工程结构计算研究。

Biography：GAO Peng（1992-），male，master student.