测地流上的封闭周期轨道的渐近扩张

刘亚丽

（南京理工大学理学院，江苏南京 210000）

测地流上的封闭周期轨道的渐近扩张

刘亚丽

（南京理工大学理学院，江苏南京 210000）

黎曼流形上的双曲流或Anosov流的闭轨道是一些常见的动力系统的周期运动的像。例如测地流就是一种特殊的双曲流，而闭测地线可以看作是测地流的闭轨道。得到了负曲率流形上的闭测地线的渐近形式．对于一对闭测地线，若它们的轨道长度之差位于一个已知的区间内，且它们的字长都等于一个定值，而对于满足这些条件的闭测地线的渐近问题，是文章的主要研究内容。

测地线；傅里叶变换；测地流；符号动力系统

0 引言

黎曼流形上的双曲流或Anosov流的闭轨道是一些常见的动力系统的周期运动的像．例如测地流就是一种特殊的双曲流，而闭测地线可以看作是测地流的闭轨道．通过对封闭轨道及其分布的研究不仅可以更好地认识流形的结构，对动力系统的便利性质、渐近行为以及运行状况的了解更具有决定性的意义．研究双曲黎曼面上的闭测地线的渐近问题是一个经典问题．1956年，Selberg发表了关于迹追踪公式，之后，Huber论证了一个渐近公式，也即是素测地线定理．π（T）：＝＃｛γ ：l （γ）≤T｝～．1986年，Parry和Pollicott［6］讨论了Anosov流的周期轨道在同调类中的分布．Sharp［5］得到了对于πβ2（T）：＝＃均可以转化为～πα（T）＝～π（T，α＋［φ0T］来求解，即πβ2（T）

然而，很少有关于两条测地线的长度之差等于一个定值的渐近问题的讨论．通过理论研究，我们对于测地流上的周期轨道的结构有了更进一步的了解，对之后连通图上周期轨道的研究有很大的帮助．符号动力系统是动力系统理论的一个重要分支，有关它的研究仍在继续．我们已经了解了它的众多性质，但它本身仍有很多特性有待揭示．本文就主要通过建立符号动力系统，在测地流上周期轨道与有限型移位空间的周期点之间建立了一个对应关系．

1 问题的提出

设V是一个截面曲率为负数的紧致光滑流形，且它有一个光滑黎曼度量。记P为流形V上的所有素闭测地线的集合．定义1 设函数n：p→Z，若存在常数0＜c1＜c2，对任意的γ∈P，有c1l（γ）≤n（γ）≤c2l（γ），则称函数υ是l－可比较函数。若υ是l－可比较的，且存在ξ∈R，使得对任意的ε＞0，当时N→∞，＃以指数形式趋近于零，那么就称函数υ是强l－可比较的。那么对于任意一条闭测地线γ，n（γ）即为它的字长．

记πn

定理1 设V是一个紧致光滑流形，它的截面曲率K∈［－h，h］，其中h＞0。那么存在一个强l－可比较函数υ∶P→Z，使得对任意的a＜b，有πn（［a，b］）～．其中λ＞1，

2 测地流和周期轨道

设M＝SV是流形V的单位切丛，即M＝｛（x，υ）∈TV∶‖υ‖x＝1｝，其中‖·‖x是TxV上的范数。对于任意的（x，υ）∈M，都存在唯一的测地线γ∶R→V，使得γ（0）＝x，˙γ（0）＝υ．那么就定义测地流φt∶M→M，φt（x，υ）＝（γ（t），˙γ（t））．

易知测地流φt上的周期轨道和V上的闭测地线有一一对应的关系，且流上的最小周期长度与闭测地线的长度相等．那么在这里对这两者不作区分．

3 Markov截面和扩张映射

为了对测地流进行详细的分析，定义局部强稳定流形Wssε（x）和局部强不稳定流形Wsuε（x）．即对任意的x∈M和ε＞0，

选择任意小的局部截面Г＝｛T1，…，Tk｝，横向截断M上的测地流，使得每条轨道都与Цki＝1Ti有无限次相交．而且Г中的元素在Poincare映射∶（Markov性质）的作用下具有很好的性质．即

定义一个C1函数r∶Цik＝1Ti→R＋，它表示每条轨道与两个截面相交的次数，

对每个Ti，令Si（x）＝W（x）∩Ti，那么这样的Si是叶状的，并且包含一个局部不稳定流形Ui．沿着稳定流形折叠，映射诱导了一个Markov映射τ∶。而且黎曼度量上的－收缩条件使得Si（x）仅仅依赖于x，所以映射τ是C1的．在这里，为了避免记号的滥用，定义r∶

下面定义一个有限型移位空间．

首先定义一个只有0和1的k×k矩阵A，

其中0＜θ0＜1，0＜θ1＜1．

根据上面的讨论容易知道φt∶M→M上的每一条周期轨道γ都与τ∶上的周期轨道对应（可能不唯一）．这里的不唯一是由于轨道通过截面的边界引起的．如果与γ对应的｝是唯一的，记n（γ）＝n，也就是x的周期．如果不唯一，那么就记n（γ）等于所有这些与γ的轨道的最小周期．而且还有l（γ）＝rn（x）∶＝r（x）＋r（τx）＋…＋r（τn－1x），其中是与γ对应的任意一条τ－轨道．

引理1 存在0＜θ2＜1，使得

引理2 函数n∶P→Z是强l－可比较的．

证明：显然函数r是有界的，那么n的l－可比较性是明显的。特别地，当n（γ）＝n，l（γ）＝rn（x）时，我

定义转移算子，有L－sr∶

引理3［1］存在0＜θ3＜1，使得对任意的x0有∈＝1Ui，有

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引理4［3］给定一个ε＞0，存在C＞0，0＜θ4＜1，使得对任意的（其中p≥1），

4 定理1的证明

为了问题的研究，这里需要介绍一个直积动力系统．

引理5［4］记ρ（s）＝P（sR），则有

引理6［4］存在ε＞0，使得

（ii）对t∈（－ε，ε），存在一个光滑的坐标变换υ＝υ（t），使得ep（it）＝λ2（1－υ2）．记

引理7 存在0＜θ5＜1，使得对任意的t ＜ε，有

引理8 存在0＜θ＜1，α≥1，使得对任意的t＜ε，有

证明：由引理2和引理3，

令

根据傅里叶反变公式，引理5，引理6，引理7，可得

证明：根据伽马函数的性质，

令χ＝χ［a，b］，即用［a，b］上的指示函数χ［a，b］来替代χ．则对任意的ε＞0，选择紧支撑函数χ－≤χ［a，b］≤χ＋，使得

综上，πn

4 结束语

遍历论和动力系统是20世纪以来最富有成就数学分支之一，其中一个主要的研究方向就是讨论流形上双曲流或测地流的周期轨道分布以及各种轨道平均的渐近行为，测地流是一种特殊的双曲流．本文主要讨论的是测地流上周期轨道的渐近问题．

本文只对测地流上周期轨道的渐进问题进行了理论研究，而对于该问题在其他方面的应用还没完全解决，如：设G是一个各个结点度数都不小于3的连通图，Sharp［1］已经得到N（T）＝，而本文得出的结论，对于G这样的连通图是否成立，以及如果不成立，还需要哪些条件等有关问题都还有待后续讨论．

［1］Sharp R．Comparing length functions on free groups，in“Spectrum and Dynamics”［J］，CRM Conference Proceedings ＆Lecture Notes，2010，52：185～207．

［2］Morten S，Risager，Richard Sharp．Pairs of periodic orbits with fixed homology difference［J］，Dynamical Systems，2008，30：15～17．

［3］Bowen R．Symbolic dynamics for hyperbolic flows［J］．Amer J Math，1973，95：429～600．

［4］Pollicott M，Sharp R．Correlations of length spectra for negatively curved manifolds［J］．Invent math，2013，319：1 ～16．

［5］Pollicott M，Sharp R．Correlations for pairs of closed geodesics［J］．Invent math，2006，163：1～24．

［6］Ruelle D．An extension of the theory of Fredholm determinants［J］．Publ Math（IHES），1990，72：175～193．

［7］Dolgopyat D．On decay of correlations in Anosov flows［J］．Ann of Math，1998，147：357～390．

Asymptotic expansion for closed orbits of geodesic flows

LIU Ya－li

（Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 21000，China）

The closed orbits of hyperbolic or Anosov flows on Riemann manifolds are the images of the periodic motion of some common dynamical systems．For example，the geodesic flow is a special double flow，and closed geodesics can be regarded as a closed orbit of the geodesic flows．In this paper we obtain asymptotic estimates for pairs of closed geodesics on negatively curved manifolds．For a pair of closed geodesics，the differences of whose lengths lie in a prescribed shrinking intervals and their length are equal to a constant value．And researching the asymptotic question for which pairs of geodesics meeting these aboving conditions is the main content of this article．

geodesics；Fourier transform；geodesic flows；symbolic dynamical systems

O19

：A

：1009－2714（2016）04－0022－06

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．006

2016—05—08

刘亚丽（1992— ），女，河南泌阳人，硕士生．