思考核心问题 积累思维经验——例谈思维经验在面积教学中积累的几个阶段

□ 沈华斌 范新林

思考核心问题 积累思维经验
——例谈思维经验在面积教学中积累的几个阶段

□ 沈华斌 范新林

数学基本活动经验的积累其核心是如何思考的经验积累，以“面积板块”教学为例，教师可以以“与什么有关？有什么关系？关系对吗，如何验证？”为核心问题，以及这些问题在不同阶段的表达形式，阐述如何帮助学生积累思维经验，从而培养学生数学思考的思维能力。

核心问题 思维经验 面积教学

“面积板块”教学是从认识“面积和面积单位”开始的，那么面积教学的思维生长点是什么呢？带着学生去思考：平面图形的面积大小“与什么有关？是什么关系？关系对吗，怎么验证？”本文试图结合面积板块的教学谈谈对“思维经验”的认识。

一、懵懂阶段——在帮扶下感受面积计算

【案例1】长方形的面积

1.自主探究

师：请同学们大胆地猜测，长方形的面积和什么有关系？有怎样的关系？

生：和长有关。

生：和长、宽都有关。

生：和周长有关。

2.实践探究，合作交流

师：你们的猜测是否正确呢？现在就请同学们观察合作要求，运用相关学具（1平方厘米的正方形），完成学习任务。

课件出示合作要求：

（1）以小组为单位，运用小正方形学具摆一摆、数一数，合作搭建3个长方形，完成实验记录表。

（2）仔细观察记录表，你发现了什么？

（3）尝试用比较规范的数学语言表达实验过程及实验结论。

反馈：

生：我们发现长方形的面积和它的长和宽有关，长方形的面积=长×宽。

师：你们是怎么发现的？

生：我们通过先把正方形学具摆一摆，一行摆4个，摆这样3行，就摆成了一个长方形。再数一数、算一算，它的面积就是3×4=12（平方厘米）。

师：哪些小组听懂了他们组的发言，也来说一说。（请其他小组发言）

师：那长方形的面积和它的周长有关吗？

生：没有直接的关系，比如我们小组摆了每行6个，有这样2行的长方形，面积大小和长4厘米、宽3厘米的长方形一样，都是12平方厘米，但它们的周长是不一样的。

生：我们组也认为没有关系，周长同样是16厘米的长方形，可以摆成长6厘米、宽2厘米，也可以摆成长5厘米、宽3厘米，还可以摆成长7厘米、宽1厘米，但它们的面积分别是12平方厘米、15平方厘米、7平方厘米。

……

师：让我们再来猜测问题，现在觉得长方形的面积和什么有关？有怎样的关系呢？我们是怎么得到这样的关系的呢？

生：和长、宽有关。

生：“长方形的面积=长×宽”的关系。

【思考】

思维经验的形成是学生在学习数学知识活动中形成的，对于“数的大小、长度的多少”学生已经有前经验的知识积累：明确了面积单位的统一后，单位正方形的个数就是图形面积的大小。这是对学生描述性概念的回顾，也是对后续面积公式推导经验的一种唤起，让学生通过用“小正方形学具摆长方形”也就顺理成章，从而探究长方形的面积。开始教师通过设问，让学生先提出问题，长方形的面积与什么有关？有怎样的关系？学生通过实际动手操作，发现了长方形的面积探究就是数出其中若干个面积单位，一排有几个（长方形的长），有这样的几排（长方形的宽），从而推导出长方形的面积和长、宽有关，长方形的面积就等于长×宽（一共有几个面积单位）。在这一阶段中，学生在教师帮扶下初步感受到与面积大小相关的条件，并且在提供学具的基础上通过小组探究“条件之间的关联”，初步体会长方形面积如何计算的探究过程。

二、感悟阶段——在引导下感悟面积计算

学数学是把知识转化为能力，教数学是让学生能够积累知识，形成正确思维经验，养成数学能力，这样的过程才是一个提升的过程。从长方形的面积到平行四边形面积的推导，再到梯形、三角形的面积教学，这个教学过程中又积累了怎样的思维经验呢？那就是感悟知识间的“联系”和“转化”，进一步体会探究面积的3个问题“与什么有关？有什么关系？关系对吗，如何验证？”

（一）联系：从未知到已知

数学不同板块知识之间存在着紧密联系，特别是未知知识与已知知识的联系，对于未知知识我们经常不会直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果（已知知识），设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使未知问题得到解决。

【案例2】平行四边形的面积

师：同学们，今天我们学习平行四边形的面积，之前我们学习了长方形和正方形的面积，还记得我们是怎么学习的吗？

师：对了，在学习平行四边形的面积时我们也来带着这些问题思考：与什么有关？有什么关系？关系对吗？如何验证？

生：和它的底有关。

生：和底和邻边有关。

生：和底、高有关。

1.自主探究平行四边形的面积（每一小格代表1，也可以利用学具平行四边形来帮助）。

反馈：

师：你们有什么发现？

生1：我们发现平行四边形的面积和它的邻边没有关系，因为图①的邻边是4分米，底是3分米，相乘得12平方分米，而实际我们通过数方格发现它的面积只有9平方分米。

生2：应该和平行四边形的底和高有关，将图①沿着高将它的一半（三角形）平移，与它的另一半合成了一个正方形，边长是3分米，面积等于9平方分米，正好等于平行四边形的底和高相乘。

师：图②你们又是怎样探究的？

2.反馈：你是通过什么方法怎么得到的？

小结反思：平行四边形的面积与谁有关？你们是怎么探究的？关系对吗？

生：我们发现平行四边形的面积与它的底和高有关，我们把平行四边形沿着高剪开，变成了一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。

【思考】

平行四边形面积推导和长方形面积探究一样，同样是提出3个问题，在长方形面积探究中则要求学生学会转化，但是对于学生来说他们是怎样想到转化的呢？这就需要经验。有的经验是长久积累的，有的经验是直接铺垫的。本片段中体现了学生将陌生的问题转化为熟悉的问题，将新知识转化为旧知识，或将平行四边形利用方格图转化成“能数的面积单位”，或将平行四边形转化成长方形的面积，从而探究出长方形的面积与它的底和高有关。学习平行四边形面积之前，学生已经认识了面积单位，会用数方格的方法来求出面积的大小。平行四边形面积中的转化探究是让学生体会到“形状求变”的策略，面积“大小不变”是基础。比如图②的面积探究，生3是原生态的转化，生4则是在生3的基础上进一步加工后的转化。这个过程实际也是寻找已知与未知联系的“思维经验”积累，这样的经验积累有助于学生在以后的数学学习中，注重寻找知识间的联系来探究新知。

（二）迁移：从一例到一类

转化是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将复杂问题转化为简单问题，把新的知识转化为已学过的知识，达到最终解决问题。通过转化思想，可以帮助学生很好地解决较复杂的数学问题。学生在学习了平行四边形面积之后，已对转化方法的运用有了一定的基础，对平面图形面积的大小和什么有关已有了一定的认知，在梯形、三角形、组合图形等面积教学时需进一步地运用，才能内化为学生自己的东西，形成思维经验。

【案例3】多边形的面积

多边形的面积包括四部分内容：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积和组合图形的面积。而学习这些图形的面积计算则以长方形面积计算为基础，教师在教学中以平面图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习。三角形（梯形）的面积与什么有关，你是怎么发现的？如下图：

在学习梯形面积时，转化方法就应用得更加灵活，既可以转化为两个三角形的面积，如图：，又可以转化为平行四边形的面积，如图：，也可以转化成多种图形面积的组合，如图：等，最终都可以得出梯形的计算面积公式，从而将新知内化为自己的知识。

知识技能的获得和经验的积累是相互的。长方形面积的学习是平行四边形面积推导的基础，平行四边形面积的学习为学习三角形面积积累了经验，三角形面积的学习为梯形面积的学习积累经验，三角形和梯形的面积推导直接由平行四边形面积推导方法迁移而来，学生在学习平行四边形时对高的认知，给三角形和梯形的面积推导带来了便利，通过将平行四边形、三角形、梯形之间面积的互相转化，把两个完全一样的三角形或梯形拼补成一个平行四边形，厘清了三角形面积大小与它的底和高有关，梯形面积的大小与上下底之和、高有关，而在这一过程中正是“转化”方法运用的逐步积累，让学生在对面积探究中，逐步完善自己对面积推导的思维经验积累。

三、运用阶段——在自觉运用中探知面积计算

思维经验是一种思考的经验，是可以帮助学生来选择方法策略的经验。在数学学习中，一位数学活动经验积累丰富又善于选择方法策略的学生，那么他对数学的学习能力肯定会随着思维经验的累积而加强。

【案例4】圆的面积

1.实验验证

师：你打算怎么研究圆的面积？

师：大家还记得平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式分别是如何推导出来的吗？（学生回忆后汇报，教师演示，激活探究思路）

2.第一轮探究——明确思路，体会转化

小组汇报。你们小组是怎么研究的？

生：我们小组认为圆的面积可能和它的半径大小有关，我们的方式是剪圆。

师：怎么剪呢？沿着什么剪？

生：沿着直径或半径剪开。

（小组演示2等份、4等份、8等份，引导发现边越来越直，剪拼的图形越来越接近平行四边形）

3.第二轮探究——明确方法，体验极限

师：刚才我们将圆分别剪成4等份、8等份再拼成新的图形的目的是什么呀？

生：想把圆形转化成平行四边形。

师：那还能转化得更像吗？

生：可以将圆平均分成16份。

（引导学生把16、32等份的圆拼成近似的长方形，上台展示）

师：从哪儿可以看出这两幅图更接近平行四边形了？

生：边更直了。

师：是什么方法使得边越来越直了？

生：平均分的份数越来越多。

（课件演示，引导学生体验把圆平均分成64份、128份……剪拼后的图形越来越接近长方形）

师：如果我们平均分的份数足够多，最后拼成的图形就成——长方形了。

……

师：回忆一下，我们是用怎样的方法来探究圆的面积的？

【思考】

思维经验的累积相比知识本身更侧重于对学习策略和学习方法的逐步积累，在平时的课堂中让学生的思维在课中动起来，通过“比较、反思”等方法，以此想通、悟透知识间的来龙去脉，选择优化的方法策略。学生到小学六年级学习“圆的面积”时，已经积累了多个平面图形面积计算的探究经验，通过教师的引导对面积探究的“3个核心问题”已有一定的体验和感知，所以在案例4中老师放手让学生自主探究，自觉运用探究面积的方法来研究“圆的面积”计算方法。

总之，在数学教学中，教师让学生会思考，愿意思考，让他们的思维真正参与其中是关键因素。面积板块的教学，是让学生通过对已知与未知的比较和联系，初步体会转化思想方法；通过梯形、多边形面积的学习，掌握对转化思想方法的熟练运用；通过圆的面积自主推导，遇到问题，善于思考知识间的联系，运用已学的方法来解决问题。最终让学生在积极的思维参与中领悟数学的本质和核心，学生这种积极参与数学活动的思考思维有利于达成对数学知识的深刻理解和融会贯通。所以“思维经验”的积累，不仅在于思考知识的“联”，还在于对方法的灵活运用。

[1]郭玉峰.数学活动经验研究——理论与实践探讨[D].东北师范大学博士论文，2012.

[2]张丹.发展学生基本活动经验的探索与实践[J].小学数学教师,2014(3).

[3]李兰瑛.在问题解决过程中帮助学生积累数学思考的经验[J].江苏教育，2014(11).

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