“如何认识高”的综合解决方案

□高子林

“如何认识高”的综合解决方案

□高子林

认识“高”，尤其是“在不同位置的底上作高”，是小学生的学习难点之一。学生已有的高的“前概念”不利于“科学概念”的建构，却有合理的可以利用的成分。同时，被教材既重视又忽视的“垂线段”概念是高的“前概念”走向“科学概念”的桥梁和纽带。因此充分利用“身高”这一前概念和“垂线段”这一“种子概念”，可以较好地解决“如何认识高”这一问题。

高 身高 垂线段 解决方案

认识“高”，尤其是“在不同位置的底上作高”，是小学生的学习难点之一。在小学生的经验和认识（或者说前概念）中，“高”的形态都是竖直向上的，如“身高”“树高”“楼高”；而向下的情况就变成了“深”，如“水深”“地下室深度”；水平情况就变成了“长”，如“床长”“木料长”。所以，学生已有的经验和认识不利于建构科学的“高”的数学概念，却有合理的可以利用的成分（如“身高”的概念）。笔者曾经所作的调查，也反映了这种现状——24.4%的学生受身高、树高的影响用“向上长”的线段来表示“高”；22.2%的学生用“最长”的线段来表示“高”；只有4.4%的学生用“垂线段”来表示“高”（课外学习所得）。

如何破解“认识高”的教学困境，提高“认识高”的学习效益呢？笔者力图基于自己所学、所知和所经历的，提出“如何认识高”的综合解决方案。

一、任务分析

（一）从知识分布看问题

以人教版为代表的教材路径基本是：认识直角→认识垂线→学习从直线外一点画垂线→认识平行四边形的高→认识梯形的高→认识三角形的高。

以北师大版为代表的教材逻辑基本是：认识直角→认识垂线→学习从直线外一点画垂线→同课认识梯形的高、平行四边形的高和三角形的高。

笔者虽然比较同意北师大版的做法，但也意识到：我们对学生的“高的前概念”还不够重视，对“垂线段”知识在建立“高的科学概念”的作用方面的认识还不够清晰。事实上，垂线段知识是高的“前概念”走向“科学概念”的桥梁和纽带，是“种子概念”。所以，从逻辑的角度讲，学习“三角形的高”应先于“梯形和平行四边形的高”，如此安排将更加契合学生的认知经验和发展需要。即“从直线外一点画直线的垂线段”过渡到“从一个顶点画对边的垂线段（如三角形的高）”，再拓展到“从一边上的一点画对边的垂线段（如梯形和平行四边形的高）”。

（二）从主要概念看问题

概念一：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高。

概念二：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。

不同版本的教材，几乎都是用“一点到对边引一条垂线段”来界定平面图形的高。不同的是，有的教材只呈现“一底一高”，有的却呈现了“一底多高”和“多底多高”。而事实上，从上述概念推论可知，每一个三角形都有三条高，每一个梯形和平行四边形都有无数条高。我们凭什么只让学生感知“三角形的一条高”“梯形和平行四边形的高是从顶点出发的”？这样避重就轻，难道就不担心学生“知识扭曲”“思想缺陷”吗？何况，这些知识点都恰好位于“垂线段”知识支撑下的最近发展区内。笔者认为，不管从落实“四基”的任何一点出发，让学生科学、全面地认识高，都是“合理的需要”。如果“前概念”利用得当，“种子概念”引申合理，“高”认知的生长是自然而然的事情。

二、方案设计

“高”到底应该怎么教？如何学？笔者认为，在策略上必须遵循知识创新和认识发展的特点，充分利用学生的生活经验和数学知识，调整学习顺序，设计学习任务，驱动深度学习，并提供必要的学习支架，实现“高”的认知的自然生长。下面，笔者对最新实践作一梳理。

（一）丰富垂线段知识，预备“高”的上位概念

1.引导学生从不同位置的直线外一点画这条直线的垂线段，准确感知和建构“垂线段”。

2.引导学生从“线段”“外”一点画这条线段的垂线段，拓展“垂线段”的认识范围，为认识高积累丰富的活动经验。

（二）激活生活经验，加工“高”的前概念

1.操作：如果下面分别是你站着和躺着的照片，请你分别在图上画一条线段表示出你的身高。

2.交流：你凭什么认为你在第一幅图上画的垂直线段就是你的身高？（立）你又凭什么说第二幅中，你画的水平线段也是你的身高？（破）

3.小结：身高是从人体头顶（相当于“点”）出发，垂直于脚底所在平面（相当于“对边”）的垂线段。

（三）顺势迁移，同化三角形的“高”

1.探索：三角形有高吗？如果我们把它的顶点看作“头顶”，你猜这个三角形有几条高？可能分别在哪里？请你给这个三角形画一条高。

2.展示：他们画的都是三角形的高吗？为什么？

3.总结：三角形的高是从一个顶点出发，到对边（底）的垂线段。

4.应用：锐角三角形有3条高，那直角三角形和钝角三角形呢？如果有，在哪里？画一画。

（四）变化情境，突破梯形的“高”

1.创设情境，认识梯形的“高”。

（1）合情探索：梯形的高可能在哪里？也请你画一画。

（2）深度辨析：这两条虚线，哪一条是梯形的高？

（3）准确建构：从一条平行边的一点出发，到对边（底）的垂线段是梯形的高。

（4）科学迁移：请你再给这个梯形画一条高，并标出底。

2.再变情境，认识平行四边形的“高”。

（1）合情探索：平行四边形也有高，请你给它画一条高。

（2）深度辨析：他们画的都是平行四边形的高吗？为什么？

（3）准确建构：平行四边形的高也是从一条平行边上的一点出发，到对边（底）的垂线段。

（4）科学迁移：这个同学画的是平等四边形的高吗？请你再画一条这样的高。

以上所述“认识高”的综合解决方案，比较科学地遵循了知识创新和认识发展的规律，合理地利用了学生的知识基础和生活经验——先完成“高的点线模型”，再构建“高的线线模型”——学习难点少、认知焦点准，实现了“顺学而教”，教学效益比较突出。不足的是，该方案需要调整教学序列，将“认识三角形的高”前置，可能会破坏“三角形特征”的整体感知。但是，相对于学生数学素养发展的大方向，笔者觉得这样的改变是完全值得的。

[1]杨佑清.教学论新编[M].上海：人民教育出版社，2011（04）.

[2]朱国荣.例谈挑战性学习任务的设计策略[J].教学月刊·小学版（数学），2014（12）.

[3]谢志芳.“认识底和高”的教学思考与改进[J].小学教学参考，2015（07）.

（浙江省海宁市仰山小学 314400）