数学源于生活*——从一道上海高考试题说起

□王淼生

（厦门第一中学，福建厦门 361003）

数学源于生活*
——从一道上海高考试题说起

□王淼生

（厦门第一中学，福建厦门 361003）

数学源于生活.用数学的眼光和大脑观察并分析日常生活中的现象，将“冰冷”的数学和谐融入“火热”的生活，彰显数学教育教学价值．

数学；生活；试题；案例

一、一道试题

数学源于生活，寓于生活，用于生活.能否用数学的眼光观察现象，能否用数学的头脑分析问题，体现了一个人数学素质的高低.数学决定着一个国家的科技进步，是关系着一个国家未来发展的核心学科，一个没有数学素养的民族就难以立足于世界之林.正如印度科学家拉奥所指出：“一个国家的科技水平可以用它消耗的数学来衡量.”

让我们先来欣赏2013年全国高考上海卷中的一道选择题，原题如下：

钱大姐常说：“好货不便宜.”她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）

A.充分条件 B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件

命制这道试题的灵感来自谚语：“便宜无好货.”出自清代李宝嘉《官场现形记》第49回：“便宜无好货，这药是吃了不中用的.”该题小巧玲珑、构思新颖、视角独特，玩赏品味，爱不释手！将抽象数学逻辑与现实生活天衣无缝地糅合于一体，凸显新课改的精髓：逻辑是每一个公民应有的素质.将“阳春白雪”（数学命题）与“下里巴人”（生活谚语）“无缝对接”，由衷惊叹命题专家独具匠心的智慧与精准掌控课标的能力.

以下我们从数学命题的视角来剖析这道试题.

“便宜无好货”（从生活经验出发）⇔“若便宜，则不是好货”（改写为数学原命题）⇔“若好货，则不便宜”（逆否命题）⇔“好货不便宜”（回归平常生活用语）.

我们把长期生活、生产实践经验结晶看作正确，即“便宜无好货”是真命题，那么依据数学命题等价性不难得到其逆否命题也是真命题，即“好货不便宜”是正确的，故选A.

二、几个案例

提高全民的数学素养，数学教师责无旁贷.数学教师在教学过程中总是千方百计地拉近“数学”与“生活”的距离，让数学更加贴近生活.把生活经验数学化、数学问题生活化，从现实生活中感悟数学思想，数学地分析与思考现实生活中的现象和问题，数学就不会呆板、枯燥、冰冷，就会与现实生活水乳交融、生动活泼、愉悦快乐，彰显数学教育的功能与价值.

案例1 在爱恨足球中感叹数形和谐

足球，世界第一运动！作为数学人，站在数学的视角该如何欣赏足球呢？

（1）凭数学的眼光观察

远眺，即形状和色彩.从空间几何体的视角：足球属于多面体；从数学涂色的视角：黑白两色（黑色为正五边形、白色为正六边形），黑色周围都是5块白色，白色周围由黑白相间（3黑3白）围住.近看，即边（棱）和顶点.每一条边（棱）都是2个相邻正多边形（面）的公共边（棱）；每一个顶点都是相邻3个正多边形（1黑2白）的公共点.

（2）用数学的头脑思维

由于黑色周围都是5块白色，白色周围由黑白相间（3黑3白）围住，则有6y=2×5x⇒y= 20.

当然，随着科技进步及审美能力提高，足球色彩、质料及缝合技术更加绚丽多彩，但是足球由12个正五边形（黑色）与20个正六边形（白色）构成空间体却始终如一.

（3）借数学的品格质疑

正五边形每个内角是108度，正六边形为120度，则每个顶点周围度数120+120+108= 348度.然而一个周角是360度，这样接近于周角却又小于周角，以便充气后成为多个平面构成“类球”曲面，有利于增大脚与球的接触面而减少力的损耗，有利于与气流磨合在一起而减少阻力，增加运行的稳定性和精准度，这就是设计成正五边形和正六边形的缘由.

（4）凸数形的和谐之美

最早设计足球，除了考虑受力、角度、速度等因素之外，足球作为图形还具有特殊的“数”的象征意义：原来地球上共有7个洲，因南极洲极其寒冷不宜居住，只算6个洲，若把南、北美洲看作一个整体，即5个洲，这就是我们常说的五大洲的来由.设计足球上的五边形正是象征酷爱足球的人遍布五大洲，足球是世界语言！之所以是“正”五边形，之所以黑、白两色，则凸显在足球面前，不论肤色、贫富、大小，人人享有平等.至于数字12与20，显然12+20= 32，其意义更是不言自喻！象征着32支雄狮拼搏在世界杯决赛赛场！

案例2 在欣赏小品中回味命题

小品就是小的艺术品.小品具有以下特点：源于生活，适度夸张，短小精悍，高度浓缩，富有哲理，幽默风趣，滑稽可笑，雅俗共赏，题材广泛，视角独特，语言精练，感染力强.

大家一定还记得由黄宏（饰男主人）、林永健（饰开锁公司工人）、巩汉林（饰物业公司员工）、董卿（饰女主人）主演的2008年春晚小品《开锁》里面的经典台词（对话）.

（第一段对话）

林永健：（若）出示身份证、房产证、户口本等有效证件，（则）开锁.（原命题）

黄宏：（若）开锁，（则）出示身份证、房产证、户口本等有效证件.（逆命题）

林永健：（若）不出示身份证、房产证、户口本等有效证件，（则）不能开锁.（否命题）

黄宏：（若）不开锁，（则）无法出示身份证、房产证、户口本等有效证件.（逆否命题）

（第二段对话）

巩汉林：（若）出示身份证、房产证、户口本等证件，（则）证明您是主人.（原命题）

黄宏：（若）证明我是主人，（则）开锁拿出身份证、房产证、户口本等证件.（逆命题）

巩汉林：（若）不出示身份证、房产证等证件，（则）不能证明您是主人.（否命题）

黄宏：（若）不证明我是主人，（则不开锁）拿不出身份证、房产证等证件.（逆否命题）

此外还有“认识则打招呼”“结婚照片是一对夫妻”“住在一起是两口子”“家中照片中的人是主人”“有钱不赚是傻子”“衣食父母就该孝敬”“贼眉鼠眼是坏人”等等，短短几分钟小品中自始至终、反反复复充满着多达十多处数学逻辑命题（即原命题、逆命题、否命题及逆否命题），让人在捧腹大笑中不得不惊叹编剧是一个数学天才！

事实上，还有不少小品是数学结晶.由郭冬临、牛莉主演的2010年春晚小品《一句话的事儿》里面最为经典的台词：“用谎言去验证谎言得到的一定是谎言.”这不正是演绎推理“三段论”中所强调的大、小前提都正确前提下才能得到正确结论吗？笔者常常借小品作为新授课情景引入，让数学课堂适度生活化、情境化，将抽象数学知识融入幽默诙谐的小品中，在轻松和谐的氛围中诱发学生的好奇心，提升浓厚兴趣，激发探究欲望，给学生留下终身难忘的回忆.正如日本数学教育家米山国藏回忆：“我搞了多年数学教育，发现学生在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后没有机会应用这些作为知识的数学，所以出校门不到两年就忘记了.然而不管他们从事什么业务的工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、数学研究方法和着眼点等，都随时随地发挥作用，使他们终身受益.”

案例3 在糖水实验中论证定理

在人们的印象中，物理、化学、生物等学科进行实验名正言顺、理所当然，数学则是纯理论论证，似乎数学与实验无关.其实，数学既是演绎科学，又是一门操作性实验科学.操作性数学实验是根据实际问题的特点和要求，做出合乎情理的假设，通过对一些工具、材料的动手和实验操作，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论的教学活动.

现有n杯相同浓度的糖水，其中第n杯是含有an克糖的bn克糖水的不饱和溶液，则有

以此类推，将第n杯糖水倒入前n-1杯糖水的混合液中，显然浓度不会改变，即

事实上，我们还可以将2杯第2杯的糖水倒入第1杯，甜度也是不变，即

上述④及⑦就是我们熟知的等比定理及推广，从①到⑦的实验操作就是等比定理的证明过程.数学实验以学生为主体，以问题为主线，以实践为手段，变冰冷的数学课堂为数学实验室，在瓶瓶罐罐中激发学生的好奇心，加深定理理解，培养探索科学、追求真理的精神.

案例4 在中考招生中构建模型

匈牙利数学家罗莎一针见血地指出：数学家在解决问题时往往不是对问题实行正面攻击，而是不断地将它等价变形，进而构造，直至把它转化成能够得到解决的熟知的数学模型.

数学模型是数学理论与实际问题相结合的一门科学.它将现实问题转化为数学问题（即生活问题数学化），用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式，或用图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.再利用数学概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导，并解决数学问题，最终返回解释实际问题（即数学问题生活化）.

著名特级教师任勇先生曾提出这样一个问题：

由于厦门市中考对物理、化学和政治采用划分等级制，每个学科划分为A、B、C、D四个等级，不计较学科排序，则中招时共有多少种不同的等级？

任勇先生与中招办工作人员交流时，工作人员虽然没有从数学的角度来解决这个问题，但还是用大家熟悉的列表、排除等方法得出20种不同等级.

随着课改深入和评价机制多样化，分支学科越来越多，等级也越来越细化，到那时，如果还是采用上述方法，则显得复杂与麻烦，怎么办？

我们知道，无论是哪一种等级，都是由A、B、C、D中的三个字母（字母可以重复）组成，设等级包含x1个A、x2个B、x3个C、x4个D，因此实际问题转化为不定方程：x1+x2+x3+x4=3的非负整数解的组数，至此完成了构建数学模型.如何求解呢？显然利用隔板原理，即把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个盒子非空，则有种不同的放法.为此将上述不定方程等价变形为：（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）=7.①

令Xi=xi+1（i=1，2，3，4），则X1+X2+X3+X4=7.②

设有m个学科，每个学科有n个不同等级，不计较学科次序，则有种不同等级.

新课标强调：“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用.”正如任勇先生所言：“把一个实际问题数学化（抽象、建模）是数学教师的基本素质，把一个数学问题一般化是数学教师的基本功底.”[1]

案例5 在文学作品中领悟数学

将文学美感融入数学研究的丘成桐接受采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏，由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人看法不一样.”中国文化源远流长，博大精深.研读文学作品，从中领悟数学，这正是数学文化长期渗透的结晶.难怪数学家苏步青指出，没有一定文学素养，要想学好理科也是相当困难.

张奠宙先生常借诗人陈子昂名句“前不见古人，后不见来者；念天地之悠悠，独怆然而泪下”暗喻以自己为时间原点，时间可以追溯到过去的负无穷大，亦可延伸到未来的正无穷大，将时间看作一维空间的直线，天是平面，地是平面，悠悠地张成三维几何空间.将时间和空间融合于一体，感叹自然之伟大，由此产生敬畏之心，以致怆然而涕下！徐利治先生在讲授到极限的时候，总是禁不住引用李白名句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”，让学生领悟一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神！耳熟能详的名句“问君能有几多愁，一江春水向东流”“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”不正是函数f（x）=sin|x|、f（x）=-x2+|x|+2图象真实再现吗？将文学看作文字语言，那函数表达式及图象正是符号语言、图形语言.数学三种语言不断切换，将文学的博大精深与数学的抽象深奥完美结合！还有什么能比用函数y=Asin（ωx+φ）的图象刻画人生更恰当呢？人生有波峰也有低谷，泪水与欢乐都是我们成长过程中不可或缺的风景.人生遭遇低谷往往蕴含着生机，加倍努力，必将到达事业的巅峰！处于事业高端要处处提醒自己，戒骄戒躁，谦虚谨慎！这正是新课标三维目标之一的“情感态度、价值观”的最佳诠释！正是体现数学教育的根本——培养人！

［1］王淼生.数学百题精彩千解［M］.福州：福建教育出版社，2009：序言.

*本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题“基于数学教学内容知识（MPCK）视角下的概念教学案例研究”（课题批准号FHB150464）研究成果.