授人以鱼，不如授人以渔——课堂的民主集中制

◆尤乐融

(浙江省丽水市职业高级中学)

授人以鱼，不如授人以渔
——课堂的民主集中制

◆尤乐融

(浙江省丽水市职业高级中学)

作为一线教师，为了上好一堂课，课前备学生、备教材、备教法，可谓做足了功课，但往往自己颇为满意的设计，在实际的课堂上却收不到预期的反响，到底是哪里出现了问题，困扰着我也困扰着我的同行们。一次一位“后进生”在课堂上的“搅局”却为我解开了困惑：计划赶不上变化，师生良性的互动才能促进一堂课真正的获得成功，学生本来就比我们所想象的可以做的更好，课堂应该实现真正的“民主集中制”。

等和数列 等积数列 构建主义

作为一名任教多年的教师，我对自己的教学水平是有信心的，但是在教学中仍会出现令我感到困惑的问题：有的时候，明明在课前准备得很充分，备教材的重点、目标，备学生的学情，采用教具、多媒体等各种手段辅助教学，课堂上也设计了许多“套路”去启发、引导学生，可往往气氛不冷不热，教学效果不如人意。直到一次看似不经意的事件悄然来到我的面前，终于揭开了我的困惑。

那天，上完等比数列的最后一个课时的内容，我正在小结知识点，准备结束数列这一章。忽然一个声音从教师的一角清晰的传来“老师，等比数列刚学完，前面也学过等差数列，怎么数列这章就结束了呢？为什么没有等和数列、等积数列？”我顺着声音寻去，发现是平时数学不太好的张XX同学正在皱着眉头，当时的我没有在意他的提问，心里觉得这小家伙不好好落实正儿八经的知识点，倒出现稀奇古怪的想法，于是轻描淡写的回答他：“张XX，老师没见过你说的数列，你可以自己再去想想，是不是有这样的数列呢？”随着下课的铃声，我走出了教室很快就忘了这件事。

第二天，我和往常一样准备满满的进入教室，师生问候完毕刚准备引入新章节的教学，张XX站起来压抑不住兴奋的说道“老师，昨天的问题我想了很久，我发现是存在等和数列和等积数列的！”课堂被打断了，而且觉得张XX又在进行无意义的探讨，我有些不高兴。但看着他一脸的期待，我想让他撞撞“南墙”回头，刚好也借这个机会提醒其他人以后不要做“无用功”，于是我就叫他同大家讲讲他的“发现”。

张XX上来边说边写：参照等差数列和等比数列的定义，我给出了等和数列和等积数列的定义。

如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的和(积)都等于同一常数，则这个数列叫做等和(积)数列，这个常数叫做公和(积)，暂用e来表示(公积暂用f表示)，由定义可得

an+an+1=e (n∈N+)

anan+1=f(n∈N+)

如1，2，1，2，1，2…这是一个等和数列，同时也是一个等积数列，我觉得等和数列应该和等积数列是相同的。我的证明如下：

根据等和数列定义式，

an+an+1=e

an+1+an+2=e

两式相减得 an+2=an

根据等积数列定义式，

anan+1=f

an+1an+2=f

两式相除得 an+2=an

结论成立，等和数列和等积数列都是形如a，b，a，b，a，b…的数列，也就是说等和数列即是等积数列，反之亦然，两者都是周期为2的周期性数列。

我有点懵，出乎我的意料，一个我眼里的学困生，竟然能自己通过已有知识的建构，给出了一个规范的定义并对自己的观点进行了证明。教室里的其他学生也开始兴趣盎然的阅读并思考起来。

是该为了教学进度点到为止呢？还是继续让这思维的火花点燃呢？我犹豫了一下，选择了后者。

于是我表扬了张XX，然后对别的学生说“你们完全同意他的理论吗？”

生甲：“我不同意他说的等和数列、等积数列的周期一定为2。常数列既是等和数列，又是等积数列，但它的周期是1，所以等和、等积数列的周期应该是1或2。”

生乙：“你说的也不对，等积数列不一定是周期数列，等积数列也不一定是等和数列，例如：0，1，0，2，0，3…

我：“那么为什么张XX的证明中，漏洞在哪里？”

生丙：“漏洞在于，等和数列里，两式相减得an+2=an没问题，但在等积数列里，两式相除得 an+2=an就不行了，前提条件是f∈0”。

一番热情洋溢的讨论后，学生归纳出结论：

1.等和数列an+an+1=e (n∈N+)

等积数列anan+1=f(n∈N+)

2.等和数列是、等积数列(f∈0)是周期数列，如果是常数列，周期为1，如果不是常数列，周期为2。

3.等和数列一定是等积数列，等积数列当f∈0时才是等和数列。

4.推论：满足an+an+1+…+an+m=e(n∈N+)的数列是周期为m+1的周期数列，满足anan+1…an+m=f(n∈N+，f∈0)的数列是周期为m+1的周期数列。

这堂课进行了一件挺“不务正业”的探讨，“耽误”了教学计划，但它收到的效果却出乎意料的好，课堂上师生之间的互动、生生之间的合作，对知识的理解和交流发散在教室的每一个角落，学生不仅对数列的理解更加深刻了，更重要的是学生从数学学习活动中获得了成功的体验，树立了自信心，在后来的学习中养成了一种合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质。

把更多的时间交还给学生自己，让我们的课堂充满“民主集中制”。

[1]杨艳红.新课改初中数学课堂互动活动的案例.中学时代，2014，(18).