运用数学思想，巧解立体几何题

◆邓邦发

(浙江省余姚市第四职业技术学校)

运用数学思想，巧解立体几何题

◆邓邦发

(浙江省余姚市第四职业技术学校)

立体几何题主要考查学生空间想象能力，直觉思维能力，逻辑推理和论证能力；同时考查学生的分析问题，解决问题能力。初学者往往感到很困难。通过具体实例说明解题过程中，恰当运用数学思想方法，能达到事半功倍的效果。

化归思想 整体思想 特殊化思想 分类讨论思想

数学思想是解题的指南，只有用正确的数学思想作指导，才能恰当地选择具体的数学方法解题。

一、化归思想

在研究和解决有关数学问题时常用通过各种方法将问题进行转化，将复杂问题化归为简单问题，将难解问题化归为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。

例1：在平行六面体中，MA、MB、MC是交于点M的三条棱，MD是六面体的一条对角线，求证：MD必过△ABC的重心。

分析：由于△ABC的重心在中线AO上，而AO、DM在同一平面内，所以可将问题转变成平面AMPD上的问题。

证明：如图1，连结PM、AD，并设AO和DM交于G

∵对角面AMPD是平形四边形

∴MO=OP，∵△OMG≌△ADG

∴OG：AG=OM：AD=1：2

∵AO是△ABC的边BC上的中线，

且AG：GO=2：1

∴G是△ABC的重心

注：本题将有关元素化归到辅助平面AMPD中，再利用平面几何的分法解决，这是“空间问题平面化”的重要思想。

二、整体思想

所谓整体思想，就是对于一个数学问题，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体上，通过对其全面深刻地考察，从宏观上理解和认识事物问题的实质，挖掘和发现整体结构中已知元素的地位和作用，从而找到解决问题的途径。

三、特殊化思想

根据已知条件，从特殊的量或关系入手，通过分析、研究、推理、论证，寻求解决问题的思路和结论。

例3：如图4所示，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形，AB=2，BC=4，侧棱PA⊥底面ABCD，求证在BC边上存在一点M，使PM⊥DM。

分析：要在BC边上找一点满足条件，比较困难，可从特殊点BC的中点考虑。

解：取BC中点M’，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，易证AM’⊥DM’

又∵PA⊥面ABCD

∴PM’在底面的射影为AM’

∴PM’⊥DM’，M’为满足条件的点M

注：从直线的中点这个特殊点入手，通过推理论证说明这个点就是满足条件的点。

四、分类讨论思想

分类讨论是解决教学问题的基本方法，通过分类讨论可以把一个问题分解成若干个容易解决的问题。

注：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究。

因此，强化数学思想方法的培养，有利于提高学生运用数学解决实际问题的能力，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，真正把学生和教师从题海中解放出来，减轻教与学的过重负担。