生动的课堂就应有“火热的思考”——以一节“平面图形的密铺”实验课为例

☉南师大附中新城初中　何君青



生动的课堂就应有“火热的思考”
——以一节“平面图形的密铺”实验课为例

☉南师大附中新城初中何君青

《新课标》（2011年版）明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”近几年，针对数学基本活动经验的研究越来越受到重视，江苏省还专门在每学期增加了一本《数学活动实验手册》，旨在通过数学实验让学生享受完整的数学学习过程，于是数学实验课成为了江苏省初中数学常态的教学行为.2016年3月22日，南京市教研室组织了“南京市初中数学实验培训”活动，邀请各区县骨干教师参与，笔者作为受邀者亲身经历了全过程，感悟颇深，故撰文与同行交流.

一、对初中数学实验课的认识

从概念上看，数学实验同物理实验、化学实验、生物实验一样同属于科学实验的范畴，本身具有科学实验的特点，但又有所不同，数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，在教师的引导下，学生运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下，进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学猜想的数学探索活动.

从认知上看，数学实验符合学生的认知规律，初中生大多喜欢动手操作，喜欢数学中具有挑战性、新颖性、开放性的问题.数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程.

从内涵上看，数学实验的核心是手脑并用、启思明理，数学实验的理念是“做”数学，让学生享受完整的数学学习过程，数学实验的形态是以“做”为支架的教与学的活动方式.

从操作上看，数学实验是一个环节，不是整个教学过程，实验不能代替逻辑推理证明，而是利用工具通过具体操作来完成的，它需要教师的引导与启发，需要教师有意识的设计，需要预设实验的目标.很多教师认为平时数学课的课时就很紧张，若一学期开设多节数学实验课，正常的教学进度能完成吗？事实上，数学实验课授课时教师并不一定要完整地上满一节课，可以作为片段合理地插入平时的教学中，既让学生动手操作，又让学生更清晰、直观地发现数学结论.

二、初中数学实验课的实践过程

此次活动，一位女教师开设了“平面图形的密铺”研究课，教师娴熟的教学基本功和课堂驾驭能力给笔者留下了深刻的印象，这节课的大致授课流程和笔者对每个环节的思考如下.

环节1：生活与数学

欣赏水立方的“密铺”过程.（视屏展示）

评析：生活离不开数学，生活中处处有数学，此处从学生生活中的背景出发，以北京水立方的外立面的密铺引入课题，生动而自然，消除刚上课的不适应感，强调用数学的眼光认识世界，将现实生活中的实际问题抽象成数学模型，从而用数学知识和数学方法处理解决，可谓用心良苦.

环节2：观察与尝试

尝试选用一种或几种平面图形进行密铺.（学生动手尝试）

评析：用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙、也没有重叠地铺成一片，叫作平面图形的密铺.在此概念教学时，应当准确、到位地让学生理解，教师不妨举几个例子或展示几张图片给学生看，若学生一开始就对概念理解的不够透彻必将影响到后面的学习.笔者觉得此处教师的处理应再加斟酌，因为从形式上看此环节与下一个环节有雷同之处，略显多余，若保留此环节，那么环节3就应当加以改变，环节2后便可以直接展示学生作品，继而问学生“你是用怎样的正多边形进行密铺的”，让学生自主构建出环节3的各个活动，倘若学生的拼图不全，教师再加以引导，将环节3完整的展示.

环节3：操作与交流

活动1：选择一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺.

活动2：从边长相等的等边三角形、正方形、正六边形和正八边形中选出两种合适的正多边形进行密铺.

活动3：用形状、大小完全相同的任意三角形进行密铺；用形状、大小完全相同的任意四边形进行密铺.

评析：此环节一步一个脚印，难度逐步上升，符合学生的认知规律.首先选择一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺，展示作品后让学生思考、交流，归纳出密铺的原理：若选择同一种正多边形进行密铺，在一个拼接点处有n个角，这些角的和应为360°，之后从边长相等的等边三角形、正方形、正六边形和正八边形中选出两种合适的正多边形进行密铺，从一种图形上升到两种图形，难度上升，从特殊到一般，将结论进行推广：若平面图形能够进行密铺，则在一个拼接点处的所有角的和应为360°，最后更为一般，用形状、大小完全相同的任意三角形或任意四边形进行密铺，再一次验证了密铺的原理.此活动虽为老师设计，但仍然可以让学生体会到研究问题从特殊到一般、从易到难的研究过程，学生在动手操作的同时，归纳结论，动脑思考，自己归纳出相应的结论，效果比老师讲授的知识要印象深刻的多，这样的数学实验课的模式值得推广.

环节4：文化与欣赏

欣赏经典的密铺图案，体会数学的文化价值.

评析：平面密铺是数学之美中典型的例子，体现了直观之美.此环节老师展示了很多生活中的图片，以及世界各国数学家对某些多边形密铺的研究，渗透了浓厚的数学文化色彩，更激发学生后续学习的动力.

环节5：归纳与思考

对密铺的再认识，对研究方法的再思考.

评析：一节课的点睛之笔不能忽视，笔者一直认为一节课的最终目的是用课堂上学到的知识、习得的方法、感悟的思想解决更多类似的、不同的问题，达到经验的迁移、能力的提升，从而学以致用、学有所用.此环节教师问：“你还有想研究的问题吗？”让学生主动地提出问题、发现问题，一名学生提出问题：今天学习了平面图形的密铺，空间图形能密铺吗？由于时间有限，教师并未能展开，也没有让更多的学生提出问题，甚为可惜，若能带着学生分析问题、解决问题，便是对整堂课学习的一个提升.此处笔者建议：教师可以让学生回家后思考为何选择一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺时只有正三角形、正四边形、正六边形能满足？这是在生动的课堂后增添了火热的思考，更锦上添花！

三、初中数学实验课的思考

“平面图形的密铺”是一节典型的数学实验课.本节课的目的是：经历观察、操作、辨析的过程，认识密铺；在实验活动中，理解密铺的问题与多边形内角和问题的关联性；用逐步积累的数学活动经验，提高实践能力，发展数学思维.此节实验课所属类型为实物验证型，即借助工具，研究数学问题；发展指向为推理能力、几何直观，这是新课标中重要的核心词.在授课中，一般的教师都通过学生的动手拼图、交流探索得到结论，从而归纳密铺的原理，很少有教师能让学生从数学的角度再审视此节课的内涵，失去了数学实验课启迪学生智慧的作用，即使课堂上由于时间的关系不深入研究，也可以在课后让学生“火热”的思考，其实研究这些问题对初中学生并不困难，当学生通过研究后收获了更多的数学结论，以后学习数学就更有信心了.

比如，选择一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺为何只有正三角形、正四边形或正六边形呢？可以这样解释：

所以若只选用一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺必为正三角形、正四边形或正六边形.

这样研究后相信学生对选用一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺会了解的更全面，也会更好的记住此结论.

再比如，从边长相等的等边三角形、正方形、正六边形和正八边形中选出几种合适的正多边形进行密铺，是否会得到某些结论呢？

若3个正多边形恰可以密铺，不妨设这3个多边形分别为正m边形、正n边形、正k边形，则有化简可得，即

同理可得：若4个正多边形恰可以密铺，不妨设这4个多边形分别为正m边形、正n边形、正k边形、正p边形，则有

以此类推，若5个正多边形恰可以密铺，不妨设这五个多边形分别为正m边形、正n边形、正k边形、正p边形、正q边形，则有

通过研究，若学生得到此结论，相信绝对有助于学生以后数学的学习，不仅收获了自信，还收获了研究数学问题的方法.

四、初中数学实验课的建议

1.生动的课堂

心理学研究表明：课堂上，民主的教学氛围，教师鼓励学生的自主性，容许学生在自行探索中去发现知识，容许学生表达不同意见，学习活动较为自由，这种教育环境，有利于培养学生的创造性，所以数学实验课的做法正符合这些要求，值得推崇.数学实验课上，学生更多的是自主参与，积极而主动，极大地提高了课堂的效率.在教学过程中，课堂教学形式生动，学生作为活动的主体，手脑并用，以“做”为支架的活动方式，有利于发现数学结论、理解数学知识、验证数学猜想.

2.火热的思考

荷兰数学家弗赖登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来.数学实验课堂上，学生虽然真正地“动”了起来、学习热情高涨，但时间相当有限，往往发现的都是较为浅显的结论，并不能通过45分钟发现更深的结论，所以要兼顾实际情况，在课后让学生积极探索，继续研究，触发学生火热的思考，这样学生学习数学的兴趣也会大大提升，渐渐进入一个良性循环的状态.H