预设“错误”，成就“精彩”

☉江苏省如东县实验中学　徐维东



预设“错误”，成就“精彩”

☉江苏省如东县实验中学徐维东

在数学认知活动中，“错误”是难以回避的.因为错误来自于教与学的“前沿”，所以无论是学生无意生成的错误，还是教师有意预设的错误，都应成为宝贵的教学资源.在教学过程中，我们应充分挖掘这些“错误”的教学价值，为学生知识的增长、技能的形成、经验的积淀及“良习”的养成服务.在近期的“因式分解”教学中，笔者就预设了一道“错误”的例题，让学生展开探索，取得了较好的教学成效.现呈现这则片断及教学的感悟，希望能给大家带来启示.

一、“因式分解”教学片断

教学内容：因式分解.

教学预设：因式分解（a+b）2-12（a+b）+9.

教师板书，抄写题目，让学生寻找因式分解的思路，并给出分解的结果.

在教师抄题过后，立即有几个学生在下面小声交流.大约过了两分钟，有两名学生举手示意自己解答完毕.教师立即走到这两名学生身边，查阅其分解的结果，发现两人所得结果一致，于是选择其中一位同学的过程进行了投影展评.

投影：原式=（a+b）（a+b-12）+9.

师：这样分解对吗？

生（齐）：不对！

师：这是因式分解吗？

生（齐）：不是！

师：为什么？

生1：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这里给出的结果不是积的形式.

师：很好！从结果的形式看，这里是两个整式的和的形式，不符合因式分解的定义.所以这两位同学的因式分解都是错的.你们还有其他结果吗？

学生安静下来，四下张望，期待着能有其他答案出现.

师：怎么了！难道这个式子不能分解吗？

生2：不能！

师：为什么？

生2：我是把（a+b）当做一个整体的.这样一来，这个式子就可以变形为（a+b）2-2（a+b）·6+9.根据完全平方公式的形式，这里的最后一项不是6的平方，所以这道题是不可以用完全平方公式来分解的.

生3：我也有这样的发现.这个式子中，前面是a+b的平方，后面是3的平方，中间一项就应该是±6（a+b），而实际上却是-12（a+b），这显然不符合完全平方公式的形式，所以我们是无法分解的.

师：如果给你一次修改题目的机会，怎样修改才能使得多项式可以因式分解呢？

生3：将数字9改为36.

师：分解的结果是什么？

生3：（a+b-6）2.

师：还可以怎么改呢？

生4：将中间的系数12改为6.

师：分解的结果呢？

生4：（a+b-3）2.

生5：还可以将数字9改为20，这样可以分解为（a+b-10）（a+b-2）.

师：很好！

生6：这么说的话，中间的数字也可以改为-10，分解的结果为（a+b-1）（a+b-9）.

……

师：刚才，老师抄题时犯下了一个“错误”，这个“错误”给你带来了哪些收获？

生7：我重新认识了“因式分解”，知道了因式分解的结果应该是“积”的形式.

生8：辨析一个式子能不能用完全平方公式分解因式.

生9：做事要严谨，看题要认真，否则一个数字就会铸成大错.

生10：犯“错”后，要及时调整改正，这样离成功会越来越近的.

……

师：非常棒，通过一道“错误”的例题，我们很好地梳理了这些天获得的因式分解的知识，对数学的严谨性、逻辑性有了更深的认识.

二、片断分析

用公式进行因式分解，关键要将多项式按照公式的样式进行“匹配”.以完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2为例，让学生弄清多项式中的哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的2ab，哪一项相当于公式中的b2，在实现项与公式的“配形”成功后，才能按照公式来进行分解.案例中，教师故意设计了一道不可以分解的例题，让学生经历“错误”探索.首先，教师对学生给出的错解案例进行了讲评，带领学生回顾了因式分解的概念.接下来，通过调整数字对“错误”进行改正，将原本不可以分解的多项式转变为可以用完全平方公式及“十字相乘法”分解的多项式.这样的设计，由一道例题变化出多道例题.“如果给你一次修改题目的机会，怎么修改才能使得多项式可以因式分解呢”，迅速激活了学生的求异思维.在他们的积极探索下，多个可以分解的多项式即时生成，与之对应的结果也随之产生.最后，教师围绕自己预设的这个错误及由此产生的教学过程进一步展开交流，“这个‘错误’给你带来了哪些收获”，让例题教学的品味迅速提升，学生不仅梳理了自己在知识与技能方面的收获，还从习惯养成的角度谈了自己的感受.我们不难发现，这则案例中的“错误”的预设是巧妙的，教师的教学实施是到位的，教学的效果更是显著的.

三、教学感悟

1.“错误”预设应紧扣教学主线

任何一节数学课都有着既定的教学主线，在课堂教学中，所有的课前预设都应在这根教学主线上展开.所以我们预设“错误”时，也应充分关注课堂教学的主线，力求在教学主线上找到“错误”的最佳“附着点”，以便其在最佳教学时机上进入课堂，成为学生获取知识、提升技能的“利器”.在本文给出的教学案例中，课堂教学的主线是因式分解，与因式分解相关的知识应附着其上，渐次散开.教师预设的这则错例，正是教者基于这一目标设计的.首先，例题的解题要求是“因式分解”，直指教学主线，学生在化解例题过程中，必然会回忆出因式分解的方法和技巧.然而，“错误”的题目学生是无法分解的，所以一旦有结果出现，就成为了回顾因式分解概念的绝佳时机，教师是绝对不会放过的.当然，教师预设的这个错误在教学中的应用绝不止于此，接下来的纠错和究错自然会在因式分解这根教学主线上越走越远.

2.核心探究落实纠错究错

错例教学的资源，既有源自学生的“错误”，也有老师精心预设的“错误”.无论是哪一种资源，我们的教学处理绝不能止于“知错就改”，我们应立足于“知错”，确保及时准确地纠错，还要努力究错，深究出现这些错误的深层次原因和这些错误背后更大的拓展空间，以便及时而有效地挖掘出这些错误的教学价值.所以教师首先应重视错误的教学应用.学生出现错误时，教师应对错误的价值进行即时评估，以确定是否进行教学应用及教学应用的程度；教师预设错误时，应提前全方位剖析设计的错误，确定教学应用的程度和步骤，以求最大限度地发挥其教学价值.本文给出的是一则预设错误的教学片断，从教师教学实施的过程看，他对自己所展示的错误的教学方向是十分清楚的.在学生探索这个“错误”时，可能会产生新的错误；改正这个“错误”的方法有很多，由此生成的结果也有很多；纠正这个错误，需要调用的知识不只是完全平方公式，还有阅读材料中的“十字相乘法”（说明：教材给出的是二次项系数为1的多项式分解方法）；这个错误不只涉及数学“四基”，还会影响到学生的习惯养成……如此种种分析，让教师对教学的内容及教学的步骤有了深刻的认知.所以教者最终将课堂探究的核心环节定格在对错误的纠正与其教学价值的挖掘之上，错误的价值无形中被放大，与此相关的知识与技能逐步走进了学生的知识网络之中.

3.教后反思彰显“错误”的价值

反思，有利于人的全面发展.在教学活动中，适时的反思不仅能提升教师教育教学的能力，还能提高学生学习与实践的能力.所以在教学过程中，我们应重视学生的学后反思.当探索活动结束后，我们以合适的问题引导学生对自己学习的结果和学习的过程进行梳理，使其在明确知晓自己所获得的知识和形成的技能的同时，还能感知知识获得过程中存在的探究方法、探索技巧及思维方式.很明显，这样的反思对学生的成长是非常有利的.在人的成长过程中，知识与技能的获得与应用是短暂的，它们只是学生人生成长过程中的一个个“过客”，对学生发展与影响最大的应该是那些蕴藏在学生知识获得与技能形成过程中的思想、方法、经验等.初中阶段的数学教学，恰好处在学生成长的关键期，我们应努力将这些对学生影响很大的重要因素融入学生的认知活动中，以实现数学的育人价值.严谨做事，知错就改，是上面案例中“错误”教学给学生的启示.在教学中，教师并没有将这个教学点遗漏，以“这个‘错误’给你带来了哪些收获”引领学生从解题走向反思.学生在梳理自己知识与技能所获的同时，还将自己由问题解决生成的感悟一并梳理出来，为后续的学习和问题解决奠基.