混凝土碳化的数学模式及其应用

李 鹏

(西昌学院工程技术学院，西昌 615000)



混凝土碳化的数学模式及其应用

李 鹏

(西昌学院工程技术学院，西昌 615000)

本文的主要目的在于建立混凝土碳化的数学模式，该模式为一维线性扩散方程式，此控制方程式描述二氧化碳浓度的瞬间变异与二氧化碳在混凝土中扩散关系，结合其初始条件与边界条件，能更准确地预测二氧化碳在混凝土中的传输情况，使预测混凝土碳化结果更加可靠。

混凝土; 碳化; 线性; 扩散; 数学模式

1 引 言

就目前世界上各式营建工程而言，钢筋混凝土是使用量最大最广的一种材料，由于混凝土材料为耐久性材料，因而其与钢筋构成的钢筋混凝土构造常被认为是耐久性结构[1]。但钢筋混凝土结构物如因本身品质不佳，或受不适的环境影响，势必造成腐蚀介质的入侵，如二碳化物、硫化物、氯化物等等，导致混凝土强度下降、钢筋腐蚀、产生裂缝，而降低结构物本身的承载力，进而使钢筋混凝土结构物在使用年限上大大的缩短，影响结构的安全性及耐久性。

在我国地处高温潮湿亚热带气候地区，属于容易发生腐蚀的环境。大气中的二氧化碳会侵入混凝土或溶于孔隙水中，使混凝土产生碳化作用，进而加速腐蚀。因此对于混凝土的碳化问题，值得我们加以深入研究。

2 研究方法

本文假设二氧化碳的浓度是空间与时间的函数，而考虑其深度的瞬间变率同时与扩散、孔隙对流和化学反应等为一维线性扩散方程式，结合初始及边界条件，采用二种方法求解析解，第一种方法是以变数分离法配合二次变数转换法(或称置换法)及利用其初始和边界条件求得解析解。第二种方法是先采用一次置换法，再以Laplace转换法，并利用卷积定理及其初始和边界条件，Laplace逆转换后求得解析解[2]。

3 分离变数法分析混凝土碳化的数学模型

3.1 混凝土碳化的理论模式

二氧化碳(CO2)穿透混凝土结构物的速率可以经由数个传输的过程来决定。在混凝土结构物中，这些过程通常同时包含着对流、扩散、传播，零或一次的产物或腐蚀。有关这些因子的偏微分方程式的通式，仅就一维运输过程来看，可以将其写成

(1)

在此处C代表着二氧化碳的浓度，Ds是扩散系数，R是无因次的迟滞因子，v是孔隙水速度，KT是在一给定的温度T时，一次衰退的速率常数，r是零次产物的速率常数，x是碳化的深度，t则是时间。

(1)式或是其他经过适当简化的式子，可以看到被广泛的应用于混凝土工程。

描述混凝土碳化的一维传输现象的式子为(1)式。假设R=1而且r=0，(1)式将成为

(2)

初始和边界条件为

C(x,0)=Ci

(3)

C(0,t)=Cs

(4)

C(L,t)=Cf

(5)

为了要解出(2)～(5)式，此一混凝土碳化问题模式，首先我们假设

C(x,t)=eαx+βtφ(x,t)

(6)

将(6)式代入(2)式后，(2)式将变为

(7)

为了将(7)式化为一维扩散方程式的标准式，等号右边的第二项与第三项，他们的系数必须令其为零，即

2αDs-v=0

(8)

α2Ds-vα-KT-β=0

(9)

从(8)式，我们可得

(10)

将第(10)式代入第(9)式，我们可得

(11)

现在原先此一问题的式子(2)～(5)改变成如下的控制方程式及他的起始条件和边界条件

(12)

φ(x,0)=Cie-αx

(13)

φ(0,t)=Cse-βt

(14)

φ(L,t)=Cfe-αL-βt

(15)

为了求出(12)～(15)式此一混凝土碳化问题的解，我们假设

φ(x,t)=Φ(x,t)+φ(x)

(16)

将(16)式代入(12)，(14)及(15)式后，可得到(16)

(17)

φ(0,t)=Φ(0,t)+φ(0)=Cse-βt

(18)

φ(L,t)=Φ(L,t)+φ(L)=Cfe-αL-βt

(19)

我们选择φ(x)为此一问题的解

φ''(x)=0;φ(x)=Cse-βt,φ(L)=Cfe-αL-βt

(20)

将φ''(x)=0积分两次，我们可以得到

φ(x)=Ax+B

(21)

将(20)式的边界条件代入(21)式中，我们可得

因此，将会得到

(22)

经由此一φ(x)的选择，Φ(x,t)的起始和边界值问题将被表成

(23)

Φ(0,t)=0

(24)

Φ(L,t)=0

(25)

Φ(x,0)=φ(x,0)-φ(0)=Cse-αx-φ(x)=f(x)

(26)

为了解出(23)～(26)式，此一混凝土碳化问题模式，我们使用分离变数法来求解

Φ(x,t)=X(x)T(t)

(27)

φ(x,t)=

(28)

最后，将(45)式代入(6)式，我们可以得到当初原始问题的解答

C(x,t)=

(29)

以上可计算碳化深度和时间的关系。其影响系数，是依据混凝土的质量及环境因子所决定，环境因子包括扩散系数、二氧化碳的浓度、温度及相对湿度。

3.2 小 结

此一维扩散方程式可以结合置换法和分离变数法求出解析[3]。将此一传输现象看做是混凝土建筑物碳化的过程，这一个新的数学模式可以比目前单纯使用菲克第一定律更加精确的描述其溶解运输的过程。对于一个不是很规律的扩散系统，其CO2浓度、扩散及化学反应、孔隙水速度等等参数皆是可变的，则此一新的模式更能适切的表达出来。我们可以利用二氧化碳浓度-碳化深度-时间的关系来描述混凝土建筑物中碳化的现象，式中扩散系数、孔隙水速率、化学反应速率、保护层厚度和二氧化碳浓度已经被决定。

4 Laplace转换法分析混凝土碳化的数学模型

4.1 混凝土碳化的数学模型

考虑混凝土碳化的一维线性传输现象的控制方程式[4]

(1)

他的初始和边界条件为

C(x,0)=Ci

(2)

C(0,t)=Cs

(3)

C(L,t)=Cf

(4)

为了要解出以(1)至(4)式所做的混凝土碳化问题，首先我们假设

C(x,t)=eαx+βtφ(x,t)

(5)

将(5)式代入(1)式后，(1)式将变为

(6)

为了将(6)式化为一维扩散方程的标准式，等号右边的第二项与第三项，他们的系数必须令其为零，即原始问题的解析解

(7)

4.2 小 结

混凝土碳化问题是一种钢筋混凝土建筑物的化学污染现象[5]。在本文中表达了一个混凝土中二氧化碳输送的观念，一种溶解传输的过程。这个一维扩散方程式，可以利用Laplace转换法结合变数代换而求出他的解析解。就混凝土碳化过程中二氧化碳传输的现象来看，本章中所提出的数学模式比起目前单单只使用菲克第一定律求解来的精准，也比上一章使用分离变数法所得结果符合真实状况。

5 结 论

影响钢筋混凝土腐蚀行为的变数相当之多，诸如二氧化碳的碳化、氯离子的入侵、硫酸盐的侵蚀等等。碳化会破坏钢筋钝化膜使钢筋锈蚀，严重影响到结构物的耐久性。依据本研究结果，可得到以下几点结论：

(1)本文所采用的一维线性扩散方程式，除了考虑到扩散系数外，尚考虑到孔隙水对流效应、化学反应等等的关连性;

(2)在本研究中此一维线性扩散方程式，可利用分离变数法与Laplace转换法求解。然而，经由这两种方法所求得的数值结果却有所差异。这是因为在分离变数法中钢筋与混凝土接触面的浓度已被固定，而Laplace转换法中钢筋表面的浓度却是随着时间而改变。

[1] 金祖权,孙 伟.荷载作用下混凝土的碳化深度[J].建筑材料学报,2005,(02)：8-9.

[2] 徐子芳.粉煤灰混凝土的碳化性能[J].粉煤灰综合利用,2005,(02)：9-11.

[3] 李 果,袁迎曙,耿 欧.气候条件对混凝土碳化速度的影响[J].混凝土,2004,(11)：10-13.

[4] 蒋利学,张 誉.混凝土部分碳化区长度的分析与计算[J].工业建筑,1999,(01)：14-15.

[5]DuraC.GeneralGuidelinesforDurabilityDesignandRedesign[R].Bruxelles:DuraCrete,2000：16-18.

Mathematical Model and Its Application of Concrete Carbonation

LIPeng

(School of Engineering Science of Xichang College,Xichang 615000,China)

The main purpose of this paper is to establish the mathematical model of concrete carbonation, the model for one-dimensional linear diffusion equation, the control equation describing the concentration of carbon dioxide instantaneous variation relationship with the carbon diffusion in the concrete, combined with its initial conditions and boundary conditions, modifications can more accurately predict carbon dioxide corrosion in concrete, concrete carbonation, forecasting results more reliable.

concrete;carbonation;linear;diffusion;mathematical model

李 鹏(1982-)，男，硕士研究生,讲师.主要从事土建及水利方面的研究.

TU528.041

A

1001-1625(2016)12-4118-04