数学原型：充满经验的味道

高中咏

原型指事物的原始形态。本文的数学原型指可以有效衍生出新知识的旧知识或生活经验。新课标要求：数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”然而，数学学习中的很多经验是无法传递的，只能依靠学生自己体验和感悟。因此，数学原型一定要从学生已有经验出发，使学生的思维有生长点。

一、从关联故事中找原型，加深理解

很多故事中包含着日常生活经验，将其作为数学原型，不仅能使学生感到数学亲切、有趣，而且能在数学与生活之间架起一座桥梁，促使他们将生活经验转化为数学经验。

人教版课标实验教材四年级下册“加法的一些简算”的教学重难点是让学生理解“多加了要减去”的算理。教学中，教师如果就“数学”讲“算理”，会使学生觉得枯燥、难懂。为了使学生悟出“算理”，教学时，教师先让学生欣赏动画故事《曹冲称象》：人们把大象赶上船，在船舷上画一个记号；把大象赶下来，往船上装石头，但记号始终露在水面；最后，加入一块大石头时，记号沉到了水面以下。教师停止播放，组织学生帮曹冲想办法。学生兴致佷高，找出了原因：记号沉到水面以下是因为最后加的石头太重了，必须减掉船中的小石头。教师接着演示课件，减掉适量的小石头后，记号果然同水面相平了。

这个改编的数学小故事就是数学原型。它把教学与生活联系起来，促使学生调用生活经验潜心体验，积极思考，在不知不觉中领悟到“多加了要减去”的算理。

运用这种方法，要特别注意两点：一是在知识的起步阶段创设情境，找到原型，学习效果会更佳；二是创设情境时，一定要找准数学知识与生活的关联点，这种关联不应只关注知识层面，还应关注解决问题的经验，这样才有利于学生从生活经验过渡到数学知识上来。

二、从现实生活中找原型，凸显开放

数学学习的真正目的是在学习知识的同时锻炼思维，提高能力。达到这样的目的，需要教师给学生提供好的数学原型，并给他们充足的探究时间和空间。好的数学原型应该具有一定的挑战性和开放性，能让学生根据原型中的情境提出问题，经历猜想、推理和交流等数学活动。我们来看下面这个教学片段。

师：某精细零件加工厂加工了一批要求十分严格的零件，每个零件重2克。这天，质检经理来检查生产的零件是否合格，他抽查的方法很特别：在每个包装盒里随意抓一些零件，分别放在天平上称。称得的重量分别是（大屏幕出示数据）76克、206克、58克、38克、48克、121克、96克、102克、37克、216克。看到这组数据，质检经理对生产人员说：“这批零件不合格！”生产人员不服：“凭什么！你没有数零件个数，这么随意一称就说零件不合格，太不负责了！”争论不下，他们找到董事长评理。你认为谁有道理？

（学生被故事吸引住了。教室里平静了一会儿，接着有学生拿出笔和纸开始计算，还有的学生开始相互讨论。几分钟后，学生纷纷举手。）

生1：我认为质检经理有道理。虽然他没有数零件个数，但是每个零件重2克，不管有多少个零件，总重量应该是2的倍数。我刚才计算了一下，121克和37克不是2的倍数，所以这批零件不合格。

师：遇到问题后动笔算一算，用具体数据说话，是认真负责的表现！

生2：我和生1的想法一样，不过我没有动笔计算，而是口算的，121和37不是2的倍数。

生3：一个数乘2，个位不可能是1和7。

生4：生3的说法不准确，应该是一个整数乘2，个位不可能是1和7，所以121克和37克包装盒中的零件不合格。

生5：从乘法口诀来判断，2的倍数的个位只能是0，2，4，6，8，不会是1，3，5，7，9。

（很多学生表示同意，也有学生在念乘法口诀验证。）

生6：质检经理肯定是看个位来判断的。

生7：对！就是看它们是单数还是双数，我现在也能一眼就看出来。

生8：这个质检经理真是个会用数学的人！

这是教学人教版课标实验教材五年级下册“2和5倍数的特征”的教学片段。教师根据“2的倍数特征”，为学生提供了富有情趣、具有开放性的生活场景，从而激起了学生探究的潜能和热情。“为什么称一下就知道是否合格呢？”学生运用已有的知识和生活经验，积极主动地寻找解决问题的方法，从中不仅享受到了探究的乐趣，而且感受到了数学的魅力。

三、从特定活动中找原型，注重探究

寻找到数学原型并在教学中开展生动有趣、丰富多彩的活动固然重要，但如果停留在情境的表面而忽视了发现和探究，会使精心创设的教学情境成为娱乐式的表演。这样的情境达不到预期的教学效果。我们来看二年级上册“数学广角”中《简单的排列组合》教学片段。

师：老师和大家一起玩一个游戏——“抢凳子”。游戏规则是，先请六位同学上台“抢”坐五个凳子，没有抢到的同学被淘汰，并撤走一个凳子；再由剩下的五位抢坐四个凳子，并撤走一个凳子；这样每玩一次就淘汰一人，最后抢到凳子的同学就是冠军。

（选派的六位学生上台了，他们在其他学生的歌声中绕着五个凳子转圈。随着教师的口令——“坐”，六位学生赶紧抢坐，动作慢的一位被淘汰了。如此又玩了两次，还剩下三位学生和两个凳子。）

师：三个同学抢两个凳子，你觉得哪两位同学会抢到？一共有几种可能？

生1：我觉得有三种可能，可能是张××和王××抢到凳子，可能是张××和刘××抢到凳子，也可能是王××和刘××抢到凳子。

生2：是有三种可能，不过，我觉得张××和王××抢到凳子的可能性要大。

师：为什么？

生2：刘××动作慢一些，上一轮就差点儿被淘汰了，所以我觉得张××和王××抢到凳子的可能性要大。

师：你真是一个会动脑筋的学生，能根据前面的情况做出分析。到底是不是这样呢？我们一起来看看吧！

（结果真像生2所说的那样，老师和同学一起用掌声表扬了他。随后是两个学生抢一个凳子。游戏结束后，老师布置作业。）

片段中，学生兴趣浓厚，在轻松愉快的氛围中运用本节课所学的组合知识解决了实际问题。然而，在近四分钟五个环节的游戏中，教师只提取了一个环节（三人抢两个凳子）中的数学问题，让学生进行组合分析，其作用与一道简单的巩固练习的效果差不多。其实，学生情绪高涨、兴趣浓厚之时，正是思维最活跃之机。如果教师充分利用这一有利时机，引导学生探究分析“没有抢到凳子的同学”与“抢到凳子的同学”之间的关系（三个人中，甲乙抢到凳子、乙丙抢到凳子、甲丙抢到凳子的三种情况，实际上就是——丙没有抢到、甲没有抢到、乙没有抢到的三种情况），那么，“三选二”就是“三选一”的数学问题就会在情境中自主产生，学生的数学思想、思维能力就会在游戏中自主发展。有了这样的基础，四抢三、五抢四、六抢五这些看似复杂，教师避而不谈的组合问题，必然会引起学生的兴趣和思考，从而变得简单起来。

需要特别说明的是，创设教学情境找到数学原型只是一节好课的条件之一，并不能等同于数学教学活动，也不是教学的真正目的。教师根据数学原型，激活学生已有的知识或生活经验，并引导他们主动思考，潜心体验，学生才能真正把握数学本质，形成数学素养和能力。

（作者单位：武穴市师范附属小学）