基于恒定空间的地物演化规律

钟业勋,王家耀，胡宝清

(1.广西师范学院北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室；广西地表过程与智能模拟重点实验室,广西 南宁 530001；2．信息工程大学 地理空间信息学院，河南 郑州 450052； 3.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023)



基于恒定空间的地物演化规律

钟业勋1，3,王家耀2，胡宝清1

(1.广西师范学院北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室；广西地表过程与智能模拟重点实验室,广西 南宁 530001；2．信息工程大学 地理空间信息学院，河南 郑州 450052； 3.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023)

摘要：在地图制图中必须把三维空间中的地物投影到二维平面上。不同性质的地物之间存在着边界。地物的边界在二维平面上的投影为约当闭曲线。在时空中存在的地物具有演化的特性。地物的演化表现为地物的缩小、扩大、消失和新生。地物的演化可以通过边界的变换来实现。演化空间的恒定性是地物演化的普遍规律。

关键词：地物演化；恒定空间；约当曲线;扩大与缩小

地理空间信息是基于统一时空基准，具有时间维、空间维和属性维及地名特征[1]。地理空间中的各种地学实体，包括各种自然现象和社会经济现象，构成了作为地图表示对象的实体系统。系统的结构、状态、特征、行为、功能等随时间的推移而发生的变化，称为系统的演化(evolution)。演化是系统的普遍特性。凡是演化都是过程，包括系统的发生过程、发育过程、相变过程、老化过程和消亡过程等。过程都是在时间维中展开的。时间是一种算子，一切事物都是它的运算对象，在时间算子作用下发生变化[2-3]。信息化时代的地图学是一门研究利用空间图形科学的抽象概括地反映自然和社会经济现象的空间分布、相互关系、空间关系及其动态变化，并对空间地理环境信息进行获取、智能抽象、存储、管理、分析、利用和可视化，以图形和数字形式传输空间地理信息的科学与技术[4]。存在于空间中的地物在时间中的演化，不管是简单还是复杂的演化，总是在恒定空间条件下发生。本文是笔者基于恒定空间条件下地物演化规律的研究。

1三维空间中地物存在的形式及其在二维平面上的投影

1.1　三维空间中地物存在的形式

设Ai为具有属性i的三维空间R3中的地物，Ai⊂R3∧i∈I。空间和时间是物质存在的固有形式，空间、时间和物质运动的不可分离性已被狭义相对论证实[5]。空间、时间和物质运动的不可分离性体现为物质存在必须满足空间非空性和时间非负性条件[6]。Ai的空间非空性要求Ai的性质必然不同于其邻接地物的性质，即∀i∈Ai⟹∃j∉Ai，这就表明，在Ai和Ai之间必定存在边界BdAi，Ai的边界BdAi的存在，使Ai获得可以感知和测量空间位置、大小、形状等空间广延性特征。

1.2　三维空间中地物边界的定义

三维空间R3中具有属性i的地物Ai，本质上是具有属性i的点的集合，其边界BdAi定义如下。

定义1边界。设Ai是拓扑空间X的子集，a∈X，如果在a的任意邻域中，既有Ai的点又有X-Ai的点，则称a为Ai的边界点。边界点所成的集合，称为Ai的边界，记为

(1)

边界是不同性质地物之间的分界线，所以Ai的补集(X-Ai)的属性必定为j∈J∧j≠i。然而，由于Ai可能与多种不同性质的地物邻接，如居民地可以在不同部位与水域、道路、林地等邻接，因此，边界BdAi表现为

(2)

(3)

1.3　三维空间中的地物在二维平面上的投影

二维地图是人类认识历史上的飞跃，是人类原始思维向抽象化发展的结果。有了地图，人类才可能把复杂的空间存在压缩为二维的简单关系[9-10]。所有地图都与客观实际的两个基本要素有关，即位置及其上面的特征[11]。在二维平面上,地物的空间位置用坐标(x,y)表示，而地物的属性、数量特征等，则以地图符号的形状、结构、大小、色彩等视觉变量和地名注记等表示，这是地图制图的规则。因此，建立地图的数学基础，把三维空间中的地物投影到二维平面上是制图的必要程序。

1)覆盖空间。

2)覆盖空间中的地物Ai的表达式。

三维空间X中具有坐标(x,y)的点，经过投影后仍为(x,y)，即满足

(4)

满足式(4)的关系表明，平面上的每一个点，都是其上覆三维空间X中具有相同坐标(x,y)的点的不动点[13]。显然，三维空间X中具有平面坐标的点p(x,y)是以平面点p(x,y)为垂足的垂线li。由于地物Ai的每一点都存在平面坐标(x,y)，因此，Ai可表示为过每一点(x,y)的垂线li的集合，即

(5)

而Ai的内部和边界则表示为

(6)

(7)

3)覆盖空间中的地物Ai在地球椭球面上的投影。

当p(x,y)∈Y⊂R2时，存在邻域U，使得p(x,y)∈U∈f(Ai)∈Y⊂R2，从而得f-1(U)∈Ai∈X⊂R3，因为Ai是p(x,y)的最大邻域，故得

(8)

就是Ai在平面Y⊂R2上的投影。

Ui的任意性使得Ai具有任意性。但每确定一个Ai，意味着确定其边界BdAi与性质iA，一组BdAi与iA，即每个Ai与Ui=f(Ai)具有一一对应性。这种一一对应性导致了制图时必须对性质iA选定，这便是专题的选定。例如，设H为一圆柱面，在圆柱面闭合的任意曲线在平面上的投影都是一个圆，必须根据制图目的，选取某一曲线所对应的地物Ai，这个被选取的地物的属性就是制图物体，其余被舍弃的地物对此专题便是非制图物体。当Ui是一个点时，这点上的垂线便是Ai，它有多种性质，可以是高程、气温、人口数等，选取某一性质，便是某一性质的专题地图[14]。

2基于恒定空间的地物缩小、扩大、消亡和新生的数学定义与地物演化规律

2.1　约当曲线定理

设J是平面Y⊂R2上的点集，它是圆周的同胚像(称为约当闭曲线)，则Y-J必由两个连通分支组成，以J作为它们的公共边界[15]。

2.2　被约当曲线分割的连通区域的表示

2.3　内部和外部的相对性及其性质差异

(9)

(10)

2.4　基于约当曲线变换的地物演化的数学定义

设J0i为平面Y⊂R2上的原始约当闭曲线，存在从约当闭曲线J0i到J1i的变换：h:J0i→J1i，根据被J0i与J1i分开的两部分的大小关系，可定义地物缩小、扩大、消失和新生。

1) 定义3地物的缩小变换。

∃ai≠Ø，若变换h满足

(11)

2)定义4地物的扩大变换。

∃ai≠Ø，若变换h满足

(12)

3)定义5地物消失变换。

在定义3中，若变换满足

(13)

4)定义6地物的新生变换。

在定义4中，若变换h满足

(14)

3地物演化规律的应用和演化空间恒定性证明

3.1　地物演化的普遍性

制图区域内的地物存在于空间和时间中，具有演化的必然性。现实世界中，地物演化的事例比比皆是：由于自然原因造成的火山、地震、泥石流、洪水灾害、森林火灾等，都会造成发生地地物地貌不同程度的变化；人类行为引起的变化则更为普遍：城镇的扩建、道路的修筑、水利的兴修、地类的变更等，几乎到处可见。凡是演化，都以某种地物的空间缩小并导致相关地物的等量扩大，或某种地物的空间扩大并导致相关地物的等量缩小的量变形式和地物此消彼长的质变形式出现。所有这些地物的缩小、扩大、消失和新生，都可用定义3～定义6进行刻画和描述。

3.2　实例

图1中各地物的性质和边界的设定是在满足边界两边的地物性质相异条件下的随意设定。由于满足这一基本条件的设定的性质和边界组合无限多，因此，它可以对不同的地类分布和关系特点的空间结构进行表达和描述。从这个意义上，图1是演化空间恒定条件下地物演化规律的普遍性解释。

图1　恒定空间中的地物演化

3.3　地物演化空间恒定性证明

1)第一种证明。

(15)

任意非空集与空集的并集仍为原非空集，即

(16)

任意非空集ai与等量的非空集aj的差集恒为空集，即

(17)

从式(17)可见，ai的定义域使其具有多值性，而它的映射aj=h(ai)也同样具有多值性，从而使满足ai/aj=Ø∧i≠j的条件无限多。由于任何地物演化的结果不增加任何非空点集，从变换前后的空间恒定性得证。

2)第二种证明。

制图区域的地理坐标在时间的进程中是固定的，地理坐标经地图投影变换成的平面直角也是固定的。图1中各地物的演化是在矩形图廓内发生的，所以矩形图廓限定的范围就是演化空间Y，它是二维平面R2的子集，即Y⊂R2。∀t0,t1∈T,t0≠t1⟹Y0=Y1=Y⊂R2。设t0时刻的公路A0i、林地B01、水域B02、草地B03、居民地B04的边界分别为J0i,JB01,JB02,JB03,JB04，所有的边界均为闭集且为连通集，故闭集为

(18)

(19)

变换前的空间Y⊂R2表现为K1和K2的并集

(20)

变换后的边界也是连通集，其闭集的拓扑性质不变，这时闭集为

(21)

(22)

(23)

式(20)和式(23)相等，使地物的演化空间Y⊂R2恒定性得证。

4结束语

存于空间和时间中的地物，在时间算子作用下具有演化的普遍性。任何地物的缩小(扩大)必然导致相关地物的扩大(缩小)，地物消失的同时，其空间又必定为等量的新生地物占有。

地物的缩小、扩大、消失和新生是地物演化的主要形式。三维空间中不同性质的地物之间存在着边界，边界在二维平面上的投影为约当闭曲线。地物的缩小、扩大、消失和新生，可在边界变换条件下，通过边界内、外点集的量变和质变进行定义。由地物的缩小、扩大、消失和新生体现的地物演化，

都是在恒定空间框架下发生的。地物演化的增量的代数和为0的变换结果是满足演化空间恒定性的充要条件。地物演化的空间恒定性是地物演化的普遍规律。

参考文献

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[15] 谷超豪.数学词典[M].上海：上海辞书出版社，1988.

[责任编辑：郝丽英]

Evolutional law of geo-object based on constant space

ZHONG Ye-xun1,3,WANG Jia-yao2,HU Bao-qing1

(1. Key Laboratory of Beibu Gulf Environment Change and Resources Use, Ministry of Education,and Guangxi Key Laboratory of Earth Surface Processes and Intelligent Simulation,Guangxi Teachers Education University,Nanning 530001,China;2.School of Geographical Spatial Information, Information Engineering University, Zhengzhou 450052,China;3.Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530023,China)

Abstract：The geo-object needs to be projected from the 3D space to 2D plane in mapping. The boundary exists between geo-objects of different quality in 3D space. Boundary of geo-object is showed by the Jordan curve on 2D plane. The geo-object in space-time possesses the evolutional property. The evolution of geo-objects is showed by reducing or expanding and being died or newborn of geo-object. Evolution of the geo-object can be realized in the transformation of boundary. Evolutional space of constant is evolutional general law of geo-objects.

Key words：evolution of geo-object; Jordan curve; space of constant; expand and reduce

作者简介：钟业勋(1939-)，男，教授，研究方向:地图学理论.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41361022)；广西科技开发项目(2014DD29090)；广西北部湾重大基础专项子课题(2012GXNSFEA053001)

收稿日期：2015-07-20

中图分类号：P283

文献标识码：A

文章编号：1671-4679(2015)06-0001-04