国内外典型计算方法教材的对比分析

唐玲艳，　李建平

(国防科技大学理学院数学与系统科学系，湖南长沙410072)



国内外典型计算方法教材的对比分析

唐玲艳，李建平

(国防科技大学理学院数学与系统科学系，湖南长沙410072)

[摘要]计算方法是理工科本科生十分重要的一门专业课程，其教材建设受到普遍关注.本文调研了国内计算方法课程教材的发展和建设现状，并以两本国外经典计算方法教材作为比较对象，从教学内容、教学理念和配套资源建设等方面分析国外教材的成功经验，对自编教材的建设提供了指导意见.

[关键词]教材； 计算方法； 对比分析

1引言

教材是教师教学和学生学习的基本载体，是课堂教学的主要依据.在高等理工科院校专业课教学中，一部好的教材不仅可使学生了解专业知识及与本专业相关的领域，为学习其它专业课程打下基础，更重要的是让学生富有想象力地到达学科前沿，在思想上对本专业产生兴趣.概括来说，优秀专业课教材应当具备科学性、先进性、新颖性、实用性和实践性.

改革开放以来，专业课教材建设成果丰硕.各高校除开发自己的专业课教材之外，还翻译引进了大量国外优秀教材，有些学校甚至直接使用外文原版教材.这些国外优秀教材大多由该学术领域中最著名或享有较高声望的教授编写，经过多次再版和上百所大学长期地使用.它们注意培养学生的独立思考能力和创造力，且视野开阔，资料丰富，论述精辟，语言简练，通俗易懂，具有主动性、启发性和可操作性.然而从教学实践来看，虽然直接引进国外优秀教材对专业课教学起到了一定的促进作用，但也存在着严重的水土不服现象.

针对上述情况，本文以计算方法课程教材建设为例，开展国内外典型专业课教材的比较研究，一方面调研国内计算方法课程教材的发展和建设现状，另一方面与国外经典教材进行比较，从教学内容、教学理念和配套资源建设等方面分析国外教材的成功经验，为自编教材的建设提供指导意见.

2国内计算方法教材的发展

计算方法(也称数值分析)介绍借助计算机求解各种数学问题的理论与方法，内容包括插值法、多项式拟合、线性方程组的直接法、线性方程组的迭代法、非线性方程求根、数值微分与数值积分、特征值与特征向量的计算以及常微分方程数值解等.它不仅是综合性大学计算数学、应用数学专业的一门主要专业基础课程，也是很多工科专业的专业选修课[1].

我国的计算方法专业课是伴随着计算数学专业同步发展起来的.二十世纪中叶，电子计算机在国内开始应用，一些著名大学相继创办计算数学专业，并开设了计算方法课程.1959年，北京大学、南京大学、吉林大学“计算方法”编写组编写了我国第一本计算数学教材《计算方法》，开启了我国计算数学教学的篇章.1977年高考恢复后，为了适应新的形势，冯康院士、何旭初教授等老一辈计算数学家出版了《数值计算方法》(冯康等，1978)、《计算数学简明教程》(何旭初等，1980)等一批优秀教材.进入二十一世纪，国内高校纷纷开发现代计算机和计算方法类教材，展示了我国计算数学教学和研究的一片新气象，其中较有代表性的教材包括：

2.1　《数值分析》，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社出版[2]

这是早期计算方法课程的一本经典教材，阐述严谨，脉络分明.截至2008年，该书已再版五次，被列入普通高等教育“十一五”国家级规划教材，主要作为理科数学类专业本科生及其他理工科研究生“数值分析”课程的教材.在具体内容的处理方面，加强了算法基本思想的分析和使用的说明；评注中增加了历史发展及关于数学软件的说明；计算实习题中加大了的题量；精简了一些实用较少的算法及一些较繁杂的推导和证明.

2.2　《数值计算方法》，湘潭大学黄云清主编，科学出版社2009年出版[3]

该书为科学计算及其软件教学丛书、普通高等教育“十一五”国家级规划教材.湘潭大学的数值计算方法课程是国家精品课程，该课程早期使用的教材是傅凯新、黄云清、舒适主编，湖南科技出版社2002年出版的《数值计算方法》一书.新教材继承了原教材的优点，并介绍了一些应用实例，内容包括：引论、函数基本逼近(一)——插值逼近、函数基本逼近(二)——最佳逼近、数值积分与数值微分、线性代数方程组求解、矩阵特征值问题的解法、非线性方程的数值解法、常微分方程数值解法、Monte Carlo方法简介、最优化方法、多重网格法.

2.3　《计算方法》，华中科技大学张诚坚主编，高等教育出版社出版[4]

华中科技大学的计算方法课程于2010年被评为国家精品课程，教材的发展也几经变化.早在1990年和1993年，原华中理工大学出版社曾出版的《工程数学(计算方法)》教材.此后该书改编为《计算方法》，于1999年9月由高等教育出版社和Springer出版社联合出版.书中既有基本理论和方法的论述，又有应用和实验技巧的介绍，特别注重实用——附有大量的实习指南与程序范例(篇幅约占全书的1/3)，从而使算法理论与算法实现一体化.为适应新时期的教学要求，2008年张诚坚、何南忠又在高等教育出版社出版教材《计算方法》.

2.4　《数值计算方法》，中国科技大学张韵华，奚梅成，陈效群编，科学出版社出版[5]

这是我校计算方法专业选修课程目前采用的教材，该书比较注重实用，书中专门用一章内容介绍数学软件Mathmatica的使用方法，还给出了一些常用数值计算方法的C++代码.

2.5　《数值分析及其Matlab实现(6.X, 7.X)》，大连工业大学任玉杰主编，高等教育出版社出版[6]

大连工业大学的计算方法课程教学以开发计算方法Matlab软件机械化操作平台、建设立体化教材闻名，该校的《(基于多核技术)计算方法》课程于2008年被评为国家精品课程.《数值分析及其Matlab实现(6.X, 7.X)》参考《数值分析简明教程》，通过数值解和精确解的图形可视化和图表直观比较，讲解每种数值算法的优劣，填补了国内有关方面的空白.

2.6　《数值计算方法》，刘玲，王正盛著，科学出版社出版[7]

这是《普通高等教育“十一五”国家级规划教材》之一，它比较[6]全面地介绍了现代科学技术中常用的数值计算方法，同时也对这些方法的计算效果、稳定性、收敛性、适用范围以及优劣性与特点作了简要的分析.该书将科学计算工具软件——MATLAB与数值计算方法有机地结合，所有的算法均配有伪程序和MATLAB代码，从而达到培养学生科学计算的能力.

2.7　《计算方法》，孙文瑜，杜其奎，陈金如，科学出版社出版2007年出版，2012年再版[8]

该书是中国科学院规划教材，作者在南京大学、南京师范大学和国外一些大学长期从事计算方法课程教学，由讲稿整理而成本书.全书写作力求通俗、系统简明、深入浅出，既强调计算方法的基本概念和理论，更注重算法和实践.主要内容包括误差和条件问题，解线性方程组的直接法与迭代法，特征值问题的计算方法，解非线性方程和方程组的迭代法，插值与逼近，数值积分与数值微分，常微分方程数值解法等8章内容.

除此之外，国内的计算方法课程教材还有很多，难以一一列举.

3国内外计算方法教材比较

本文选择两部具有一定代表性的国外计算方法教材[9]和[10]作为比较对象，从中吸取一些好的经验和做法.

(i) 中外计算方法教材的教学内容大同小异，区别在于，国外教材介绍了偏微分方程数值解，而国内教材大多只讲到常微分方程数值解.这方面有一些历史原因，1977年10月在上海召开的教材会议上，计算方法课程被分解为三部分：数值逼近、数值代数和微分方程数值解进行讲授.之后，国内综合性大学计算数学专业经过两次更名，计算方法课程的内容也相应地修改为数值分析(其内容包含数值逼近、数值代数以及常微分方程数值解)和偏微分方程数值解两个部分.因此，国内的计算方法教学通常将偏微分方程数值解视为计算方法的后续课程，并未在本课程中涉及.

(ii) 国外教材选材更加新颖，内容覆盖面稍广，讲解更为细致.教材[9]总共十二章，相互之间的继承关系如图1所示.虽然在内容上与国内教材区别不大，但它的阐述更加细致深入.该教材的编写并不仅仅面向一门30或50学时的课程，而是面向科学计算的一系列课程.教师可以根据教学实际进行删减，方便学有余力的学生开展拓展性阅读.在前言中，教材[9]这样写到：

This book was written for a sequence of courses on the theory and application of numerical approximation techniques……

The book contains sufficient material for at least a full year of study, but we expect many people to use it for only a single-term course. In such a single-term course, students learn to identify the types of problems that require numerical techniques for their solution and see examples of the error propagation that can occur when numerical methods are applied. They accurately approximate the solution of problems that cannot be solved exactly and learn typical techniques for estimating error bounds for the approximations. The remainder of the text then serves as a reference for methods not considered in the course. Either the full-year or single-course treatment is consistent with the philosophy of the text.

图1　教材[9]内容结构

教材[10]选材新颖，全书共分十四章，不仅全面论述了数值分析的基本方法，还深入浅出地介绍了计算机和工程领域使用的一些高级数值方法，如压缩、先验和后验误差分析、解方程组的迭代法等，具体如图2所示.除前四章为基础内容之外，教师可以根据教学需求选择三个不同的专题进行讲授.

图2　教材[10]内容结构

(iii) 国外教材的应用性更强，常采用实际案例引出新知识，或在章节末给出相应的工程案例.例如，在介绍线性方程组求解时，国内教材大多直接给出一个三阶左右的线性方程组作为例子，对于该数学模型的由来，并无过多叙述.教材[9]则这样引入：

Kirchhoff’s laws of electrical circuits state that both the net flow of current through each junction and the net voltage drop around each closed loop of a circuit are zero. Suppose that a potential of V volts is applied between the points A and G in the circuit and thati1,i2,i3,i4, andi5represent current flow as shown in the diagram. Using G as a reference point, Kirchhoff’s laws imply that the currents satisfy the following system of linear equations:

5i1+ 5i2= V,

i3-i4-i5= 0,

2i4-3i5= 0,

i1-i2-i3= 0,

5i2-7i3-2i4= 0.

图3　电路结构示意图

这其实是一个数学建模的过程，指导学生如何将一个实际问题抽象成数学模型，进而运用数值计算方法来求解.它既加深了学生对线性方程组背景的了解，又激发了学生的学习兴趣.同样的章节，教材[10]选取了更贴近实际的应用案例——The Euler-Bernoulli Beam.这是材料受力弯曲的基本模型，其数学表示为一个高阶常微分方程：

EIy′′′′=f(x)

教材详细叙述了内点、边界点和边界条件的离散形式，最终将其转化为一个大规模的五对角线性方程组问题.具体过程对于开拓学生眼界，培养其创新思维，具有重要意义.

(iv) 国外教材善用简单、浅显的语言和图表叙述新概念，层层铺垫且形象生动，既体现了知识的本质，又易于学习者接受.例如，教材[9]在介绍不动点迭代的算法原理和收敛条件时，采用了下面几个例子及函数图形：

例1确定函数g(x)=x2-2的不动点.

图4　函数g(x)=x2-2的不动点

例2证明函数g(x)=(x2-1)/3在区间[-1,1]上有唯一的不动点.

图5　函数g(x)=(x2-1)/3的不动点

例3证明虽然函数g(x)=3-x在区间[0,1]上有唯一的不动点，但是收敛性定理却无法确定.

这种叙述方式使得定理在读者眼中不再是干巴巴的符号和公式，而有了具体的形象，理解起来也更容易.

图6　函数g(x)=3-x的不动点

(v) 国外教材配套资源丰富，一本教材不仅仅是公式和定理的简单罗列，而是由课程基本内容、习题、习题解答、源代码和工程实例等组成的有机整体.本文考察的两本教材均按节配置习题，其中教材[9]配备各类习题1 141个，教材[10]配备练习题515个，计算实习题377个，工程案例13个.对于计算方法课程，编写程序与上机实习是必不可少的过程，两本教材都开设了相应的交流网站，便于读者下载算法源代码和最新资料.尤其是教材[9]，由于出版时间较长，配套资料建设得非常全面，除已出版配套的教辅丛书之外，书中的每个算法都已被编写成FORTRAN、Pascal、C、Java、Maple、Mathematica和MATLAB等多种版本的源代码，读者可由网站上下载并用于科学计算.

4关于计算方法教材建设的思考

教材建设是学科建设、课程建设的重要组成部分，是提高高等教育教学质量的关键环节.通过对比，我们认识到自身的不足，在新的计算方法教材编写过程中将会注意以下几点：

(i) 加强工程案例库建设.由于国内教材编写延续了前苏联的习惯，大都是直接介绍方法，比较注重理论推导，但对实际应用案例介绍较少，难以激发学员的学习兴趣.因此，案例库建设是下一步工作的重点.

(ii) 加强源代码开发和配套教材网站建设.上机实习对计算方法课程的重要性毋庸置疑，现在的很多教材也开始给出一些可运行的源代码，但在数量和质量上还远不能与国外教材相比，更新不及时，不利于读者灵活运用.因此，建设与教材配套的网站，开发多版本源代码是十分必要的.

(iii) 加强教辅丛书建设.如习题集、学习指导书或上机实习教材等，为学生课外学习及实践教学环节的开展创造条件.

[参考文献]

[1]唐玲艳，宋松和. 面向应用的计算方法课程教学模式研究[J] . 高等教育研究学报，2010，10：66-67.

[2]李庆扬，王能超，易大义. 数值分析(第五版)[M] . 北京：清华大学出版社，2008.

[3]黄云清. 数值计算方法[M] . 北京：科学出版社，2009.

[4]张诚坚. 何南忠，计算方法[M] . 北京：高等教育出版社，2008.

[5]张韵华，奚梅成，陈效群. 数值计算方法 [M] .2版. 北京：科学出版社，2014.

[6]任玉杰. 数值分析及其Matlab实现(6.X, 7.X)[M] . 北京：高等教育出版社，2007.

[7]刘玲，王正盛. 数值计算方法[M] . 北京：科学出版社出版，2010.

[8]孙文瑜，杜其奎，陈金如. 计算方法 [M] .2版. 北京：科学出版社出版，2012.

[9]Richard L. Burden. J. Douglas Faires, Numerical Analysis[M] . 9th Ed, 2010.

[10]Timothy Sauer. Numerical Analysis[M] . Pearson Education Asia Ltd., 2012.

Comparison of Typical Computational Methods

Textbooks at Home and Abroad

TANGLing-yan，LIJian-ping

(Department of Mathematics and System Science, Science School, National University of

Defence Technology, Changsha 410072, China)

Abstract:Computational methods is an important specialized course to science and engineering undergraduate students. The construction of its textbooks has drawn wide attention. This paper is written for the comparison of computational methods textbooks at home and abroad. Firstly, the history and construction status of the textbooks at home is investigated. Then, we use two classical foreign textbooks as a comparison object and analysis of their successful experience from the aspects of teaching content, teaching ideas and resources supporting construction. Finally, some guiding suggestion is provided for the building of our own teaching materials.

Key words:textbooks; computational methods; comparison

[中图分类号]G642.0

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)05-0047-06

[基金项目]国防科学技术大学本科教改项目(U2013008，校训[2014]330号重点立项课题)； 国防科学技术大学研究生数学公共课一流课程体系建设项目

[收稿日期]2015-07-17